B9 uždavinys pateikia funkcijos arba išvestinės grafiką, iš kurio reikia nustatyti vieną iš šių dydžių:

1. Išvestinės vertė tam tikru tašku x 0,
2. Maksimalus arba minimalus balas (ekstremalūs taškai),
3. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalai (monotoniškumo intervalai).

Šioje užduotyje pateiktos funkcijos ir išvestiniai visada yra tęstiniai, todėl sprendimas yra daug lengvesnis. Nepaisant to, kad užduotis priklauso matematinės analizės skyriui, ją gali atlikti net patys silpniausi mokiniai, nes čia nereikia gilių teorinių žinių.

Norint rasti išvestinės vertės, ekstremumo taškų ir monotoniškumo intervalų reikšmę, yra paprasti ir universalūs algoritmai – visi jie bus aptarti toliau.

Atidžiai perskaitykite užduoties B9 sąlygas, kad nepadarytumėte kvailų klaidų: kartais tenka susidurti su gana ilgais tekstais, bet svarbias sąlygas, kurios turi įtakos sprendimo eigai, yra nedaug.

Išvestinės vertės apskaičiavimas. Dviejų taškų metodas

Jei uždaviniui pateikiamas funkcijos f(x), liestinės šiam grafui tam tikrame taške x 0 grafikas ir reikia rasti išvestinės reikšmę šiame taške, taikomas toks algoritmas:

1. Lietinės grafike raskite du „adekvačius“ taškus: jų koordinatės turi būti sveikosios. Šiuos taškus pažymėkime kaip A (x 1 ; y 1) ir B (x 2 ; y 2). Teisingai užsirašykite koordinates – tai yra pagrindinis momentas sprendimus, o bet kokia klaida čia lemia neteisingą atsakymą.
2. Žinant koordinates, nesunku apskaičiuoti argumento Δx = x 2 − x 1 ir funkcijos Δy = y 2 − y 1 prieaugį.
3. Galiausiai randame išvestinės D = Δy/Δx reikšmę. Kitaip tariant, reikia padalyti funkcijos prieaugį iš argumento prieaugio – ir tai bus atsakymas.

Dar kartą pastebėkime: taškų A ir B reikia ieškoti būtent liestinėje, o ne funkcijos f(x) grafike, kaip dažnai nutinka. Liestinės linijoje būtinai bus bent du tokie taškai – kitaip problema nebus suformuluota teisingai.

Apsvarstykite taškus A (-3; 2) ir B (-1; 6) ir raskite prieaugius:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Raskime išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 3) ir B (3; 0), raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Dabar randame išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 2) ir B (5; 2) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Belieka rasti išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iš paskutinis pavyzdys galime suformuluoti taisyklę: jei liestinė lygiagreti OX ašiai, tai funkcijos išvestinė liesties taške lygi nuliui. Tokiu atveju jums net nereikia nieko skaičiuoti - tiesiog pažiūrėkite į grafiką.

Maksimalių ir minimalių taškų skaičiavimas

Kartais vietoj funkcijos grafiko uždavinys B9 pateikia išvestinės grafiką ir reikalauja surasti funkcijos maksimalų arba mažiausią tašką. Šioje situacijoje dviejų taškų metodas yra nenaudingas, tačiau yra kitas, dar paprastesnis algoritmas. Pirmiausia apibrėžkime terminologiją:

1. Taškas x 0 vadinamas maksimaliu funkcijos f(x) tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≥ f(x).
2. Taškas x 0 vadinamas funkcijos f(x) minimaliu tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≤ f(x).

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią taškus iš išvestinės grafiko, tiesiog atlikite šiuos veiksmus:

1. Perbraižykite išvestinį grafiką, pašalindami visą nereikalingą informaciją. Kaip rodo praktika, nereikalingi duomenys tik trukdo priimti sprendimą. Todėl koordinačių ašyje pažymime išvestinės nulius - ir viskas.
2. Sužinokite išvestinės ženklus intervaluose tarp nulių. Jei kokiam nors taškui x 0 žinoma, kad f'(x 0) ≠ 0, tai galimi tik du variantai: f'(x 0) ≥ 0 arba f'(x 0) ≤ 0. Išvestinės ženklas yra nesunku nustatyti iš pirminio brėžinio: jei išvestinis grafikas yra virš OX ašies, tai f'(x) ≥ 0. Ir atvirkščiai, jei išvestinis grafikas yra žemiau OX ašies, tada f'(x) ≤ 0.
3. Dar kartą patikriname išvestinės nulius ir ženklus. Kai ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, yra minimalus taškas. Ir atvirkščiai, jei išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas. Skaičiavimas visada atliekamas iš kairės į dešinę.

Ši schema veikia tik nuolatinėms funkcijoms – problemų B9 nėra.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−5; 5]. Raskite funkcijos f(x) mažiausią tašką šioje atkarpoje.

Atsikratykime nereikalingos informacijos ir palikime tik ribas [−5; 5] ir išvestinės x = −3 ir x = 2,5 nuliai. Taip pat atkreipiame dėmesį į ženklus:

Akivaizdu, kad taške x = −3 išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Tai yra minimalus taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7]. Raskite maksimalų funkcijos f(x) tašką šioje atkarpoje.

Perbraižykime grafiką, palikdami tik ribas [−3; 7] ir išvestinės x = −1,7 nuliai ir x = 5. Gautame grafe pažymėkime išvestinės požymius. Mes turime:

Akivaizdu, kad taške x = 5 išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą – tai didžiausias taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [−6; 4]. Raskite atkarpai [−4 priklausančios funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių; 3].

Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad užtenka nagrinėti tik atkarpa ribojamą grafo dalį [−4; 3]. Štai kodėl mes statome naujas tvarkaraštis, ant kurių pažymime tik ribas [−4; 3] ir jo viduje esančios išvestinės nuliai. Būtent taškai x = −3,5 ir x = 2. Gauname:

Šiame grafike yra tik vienas maksimalus taškas x = 2. Būtent šioje vietoje išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą.

Maža pastaba apie taškus, kurių koordinatės nėra sveikos. Pavyzdžiui, paskutinėje užduotyje buvo nagrinėjamas taškas x = −3,5, tačiau su tokia pačia sėkme galime imti x = −3,4. Jei problema parašyta teisingai, tokie pakeitimai neturėtų turėti įtakos atsakymui, nes taškai „be konkrečioje vietoje gyvenamoji vieta“ tiesiogiai nedalyvauja sprendžiant problemą. Žinoma, šis triukas neveiks su sveikaisiais taškais.

Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalų radimas

Esant tokiai problemai, kaip ir maksimalus bei minimalus taškai, išvestiniu grafiku siūloma rasti sritis, kuriose pati funkcija didėja arba mažėja. Pirmiausia apibrėžkime, kas yra didėjantis ir mažėjantis:

1. Laikoma, kad funkcija f(x) didėja atkarpoje, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Kitaip tariant, kuo didesnė argumento reikšmė, tuo didesnė funkcijos reikšmė.
2. Laikoma, kad funkcija f(x) atkarpoje mažėja, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Tie. Didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Suformuluokime pakankamas sąlygas didėti ir mažėti:

1. Kad atkarpoje ištisinė funkcija f(x) padidėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų teigiama, t.y. f’(x) ≥ 0.
2. Tam, kad atkarpoje tolydi funkcija f(x) sumažėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų neigiama, t.y. f’(x) ≤ 0.

Priimkime šiuos teiginius be įrodymų. Taigi gauname didėjimo ir mažėjimo intervalų nustatymo schemą, kuri daugeliu atžvilgių yra panaši į ekstremalių taškų skaičiavimo algoritmą:

1. Pašalinkite visą nereikalingą informaciją. Pradiniame išvestinės grafike mus pirmiausia domina funkcijos nuliai, todėl paliksime tik juos.
2. Pažymėkite išvestinės ženklus intervalais tarp nulių. Kur f’(x) ≥ 0, funkcija didėja, o kur f’(x) ≤ 0, ji mažėja. Jei problema nustato apribojimus kintamajam x, juos papildomai pažymime naujame grafike.
3. Dabar, kai žinome funkcijos elgseną ir apribojimus, belieka apskaičiuoti užduotyje reikalingą kiekį.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7.5]. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Kaip įprasta, perbraižykime grafiką ir pažymėkime ribas [−3; 7.5], taip pat išvestinės x = −1,5 ir x = 5,3 nuliai. Tada pažymime išvestinės požymius. Mes turime:

Kadangi išvestinė yra neigiama intervale (− 1,5), tai yra mažėjančios funkcijos intervalas. Belieka susumuoti visus sveikuosius skaičius, esančius šiame intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [−10; 4]. Raskite funkcijos f(x) didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Atsikratykime nereikalingos informacijos. Palikime tik ribas [−10; 4] ir išvestinės nuliai, kurių šį kartą buvo keturi: x = −8, x = −6, x = −3 ir x = 2. Pažymėkime išvestinės ženklus ir gaukime tokį paveikslėlį:

Mus domina didėjančios funkcijos intervalai, t.y. toks kur f’(x) ≥ 0. Grafike yra du tokie intervalai: (−8; −6) ir (−3; 2). Apskaičiuokime jų ilgį:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kadangi reikia rasti didžiausio intervalo ilgį, kaip atsakymą užrašome reikšmę l 2 = 5.

Taikymas

Išvestinio sprendimo sprendimas svetainėje, siekiant konsoliduoti studentų ir moksleivių aptariamą medžiagą. Apskaičiuoti funkcijos išvestinę per kelias sekundes neatrodo sunku, jei naudojatės mūsų internetine problemų sprendimo paslauga. Kas trečias mokinys praktinės pamokos metu galės pateikti išsamią išsamią analizę. Dažnai atitinkamo katedros matematikos skatinimo skyriuje švietimo įstaigosšalyse. Kaip šiuo atveju nepaminėti išvestinės uždaros erdvės sprendimo internetu? skaičių sekos. Daugeliui turtingų asmenų leidžiama išreikšti savo sumišimą. Tačiau tuo tarpu matematikai nesėdi vietoje ir daug dirba. Išvestinė skaičiuoklė priims įvesties parametrų pakeitimus, pagrįstus tiesinėmis charakteristikomis, daugiausia dėl mažėjančių kubų pozicijų viršenybės. Rezultatas neišvengiamas kaip paviršius. Kaip pradiniai duomenys, internetinės išvestinės priemonės pašalina poreikį imtis nereikalingų veiksmų. Išskyrus išgalvotus namų ruošos darbus. Be to, kad išvestinių finansinių priemonių sprendimas internetu yra būtinas ir svarbus aspektas studijuodami matematiką, studentai dažnai neprisimena praeities problemų. Studentas, būdamas tingus padaras, tai supranta. Bet studentai yra juokingi žmonės! Arba darykite tai pagal taisykles, arba funkcijos išvestinė pasvirusioje plokštumoje gali suteikti pagreitį materialiam taškui. Nukreipkime kur nors žemyn besileidžiančio erdvinio spindulio vektorių. Reikiamame atsakyme išvestinės radimas atrodo abstrakti teorinė kryptis dėl matematinės sistemos nestabilumo. Pagalvokime apie skaičių ryšį kaip nepanaudotų parinkčių seką. Ryšio kanalas buvo papildytas penktąja linija išilgai mažėjančio vektoriaus nuo uždaros kubo bifurkacijos taško. Kreivų erdvių plokštumoje išvestinės problemos sprendimas internete leidžia padaryti išvadą, kuri praėjusiame amžiuje apie tai susimąstė didžiausius planetos protus. Matematikos srities įvykių eigoje penki iš esmės svarbius veiksnius, padedantis pagerinti kintamo pasirinkimo padėtį. Taigi taškų įstatymas teigia, kad internetinė išvestinė priemonė ne kiekvienu atveju skaičiuojama detaliai, vienintelė išimtis yra lojaliai progresuojantis momentas. Prognozė atvedė mus į naują vystymosi etapą. Mums reikia rezultatų. Matematinio nuolydžio linijoje, kuri praėjo po paviršiumi, režimo išvestinės skaičiuotuvas yra lenkimo rinkinio gaminių susikirtimo srityje. Belieka išanalizuoti funkcijos diferenciaciją jos nepriklausomame taške netoli epsilono kaimynystės. Kiekvienas gali tai patikrinti praktiškai. Dėl to kitame programavimo etape bus ką nuspręsti. Studentui kaip visada reikalingas internetinis išvestinis produktas, neatsižvelgiant į įsivaizduojamą tyrimą. Pasirodo, funkcija, padauginta iš konstantos, nekeičia išvestinės sprendinio internete bendra kryptis judėjimas materialus taškas, bet apibūdina greičio padidėjimą tiesia linija. Šia prasme bus naudinga naudoti mūsų išvestinę skaičiuoklę ir apskaičiuoti visas funkcijos reikšmes visame jos apibrėžimo rinkinyje. Nereikia tirti gravitacinio lauko jėgos bangų. Jokiu būdu išvestinių išvestinių priemonių sprendimas internete neparodys išeinančio spindulio polinkio, tačiau tik retais atvejais, kai to tikrai reikia, gali įsivaizduoti universiteto studentai. Ištirkime direktorių. Mažiausio rotoriaus vertė yra nuspėjama. Taikyti į dešinę nukreiptų linijų, apibūdinančių kamuolį, rezultatą, bet internetinis skaičiuotuvas išvestinės, tai yra ypatingo stiprumo ir netiesinės priklausomybės figūrų pagrindas. Matematikos projekto ataskaita paruošta. Asmeninės savybės: skirtumas tarp mažiausių skaičių ir funkcijos išvestinės išilgai ordinačių ašies padidins tos pačios funkcijos įgaubtą aukštį. Yra kryptis – yra išvada. Teoriją lengviau pritaikyti praktiškai. Studentai turi pasiūlymą dėl studijų pradžios laiko. Reikia mokytojo atsakymo. Vėlgi, kaip ir ankstesnę poziciją, matematinė sistema nereguliuojama remiantis veiksmu, kuris padės rasti išvestinę, kaip ir apatinė pusiau linijinė versija, internetinė išvestinė detaliai nurodys sprendimo identifikavimą pagal išsigimusią sąlyginį dėsnį. Ką tik buvo iškelta formulių skaičiavimo idėja. Funkcijos tiesinis diferencijavimas nukreipia sprendimo tiesą, kad būtų paprasčiausiai išdėstyti nereikšmingi teigiami variantai. Lyginimo ženklų svarba bus vertinama kaip nuolatinis funkcijos pertrauka išilgai ašies. Tai, pasak studento, labai svarbi sąmoningiausia išvada, kurioje internetinė išvestinė yra kažkas kita, nei ištikimas matematinės analizės pavyzdys. Išlenkto apskritimo spindulys Euklido erdvėje, priešingai, išvestinių skaičiuotuvui suteikė natūralų lemiamų problemų pasikeitimą stabilumu. Surastas geriausias būdas. Lengviau buvo perkelti užduotį aukštyn. Tegul nepriklausomo skirtumo proporcijos pritaikymas veda prie išvestinių sprendimų internete. Tirpalas sukasi aplink abscisių ašį, aprašydamas apskritimo figūrą. Išeitis yra, ir ji paremta teoriškai paremtais universiteto studentų tyrimais, iš kurių mokosi visi, ir net tais laiko momentais yra funkcijos išvestinė. Radome pažangos kelią ir mokiniai tai patvirtino. Galime sau leisti rasti išvestinę neperžengdami nenatūralaus požiūrio į matematinės sistemos transformavimą. Kairysis proporcingumo ženklas auga geometrine seka, kaip matematinis internetinės išvestinės skaičiuoklės atvaizdas dėl nežinomų tiesinių veiksnių aplinkybės begalinėje y ašyje. Matematikai visame pasaulyje įrodė išskirtinumą gamybos procesas. Valgyk mažiausias kvadratas apskritimo viduje pagal teorijos aprašymą. Vėlgi, internetinė išvestinė priemonė išsamiai išreikš mūsų prielaidą apie tai, kas pirmiausia gali turėti įtakos teoriškai patobulintai nuomonei. Buvo kitokio pobūdžio nuomonių nei mūsų pateikta analizuota ataskaita. Ypatingo dėmesio gal ir ne mūsų fakultetų studentai, bet ne protingi ir technologiškai pažengę matematikai, kuriems funkcijos diferencijavimas tėra pasiteisinimas. Mechaninė vedinio reikšmė labai paprasta. Kėlimo jėga apskaičiuojama kaip internetinė išvestinė į viršų besileidžiančios pastovios erdvės laike. Akivaizdu, kad išvestinė skaičiuoklė yra griežtas procesas, skirtas aprašyti dirbtinės transformacijos, kaip amorfinio kūno, išsigimimo problemą. Pirmoji išvestinė rodo materialaus taško judėjimo pasikeitimą. Akivaizdu, kad trimatė erdvė stebima specialiai parengtų išvestinių sprendimų internete technologijų kontekste. Tiesą sakant, tai yra kiekviename koliokviume matematikos disciplinos tema. Antroji išvestinė apibūdina materialaus taško greičio kitimą ir nustato pagreitį. Meridiano metodas, pagrįstas afininės transformacijos naudojimu, perkelia funkcijos išvestinę taške iš šios funkcijos apibrėžimo srities į naują lygį. Internetinė išvestinė skaičiuoklė negali egzistuoti be skaičių ir simbolinių žymėjimų, kai kuriais atvejais tinkamam vykdymo momentui, be transformuojamo dalykų išdėstymo užduotyje. Keista, kad yra antrasis materialaus taško pagreitis, kuris apibūdina pagreičio pokytį. Trumpai tariant laiko rėmus Pradėsime tyrinėti išvestinio sprendimo būdą internete, tačiau kai tik pasieks tam tikrą žinių etapą, mūsų studentas pristabdys šį procesą. Geriausia priemonė užmegzti ryšius – tai gyvas bendravimas matematine tema. Yra principų, kurių negalima pažeisti jokiomis aplinkybėmis, kad ir kokia sunki užduotis būtų atliekama. Naudinga laiku ir be klaidų rasti išvestį internete. Tai lems naują matematinės išraiškos padėtį. Sistema yra stabili. Fizinė vedinio reikšmė nėra tokia populiari kaip mechaninė. Mažai tikėtina, kad kas nors prisimins, kaip internetinė išvestinė plokštumoje detaliai atvaizdavo funkcijos linijų kontūrą normalioje nuo trikampio, esančio greta abscisių ašies. Žmogus nusipelno didelio vaidmens praėjusio šimtmečio tyrimuose. Išskirkime funkciją taškuose ir iš apibrėžimo srities, ir begalybėje trijose elementariosiose stadijose. Bus rašymas tik tyrimų srityje, bet gali užimti pagrindinio vektoriaus vietą matematikoje ir skaičių teorijoje, kai tik tai, kas atsitiks, susieja internetinį išvestinių skaičiuotuvą su problema. Jei būtų priežastis, būtų priežastis sukurti lygtį. Labai svarbu nepamiršti visų įvesties parametrų. Už tai slypi didžiulis skaičius geriausių dirbančių protų, kurie žinojo, kaip skaičiuojama internetinė priemonė. Nuo tada išgaubtumas buvo laikomas nuolatinės funkcijos savybe. Visgi, geriau pirmiausia išsikelti užduotį išvestines priemones išspręsti internetu per trumpiausią įmanomą laiką. Taigi sprendimas bus baigtas. Išskyrus neįvykdytus standartus, manoma, kad to nepakanka. Iš pradžių beveik kiekvienas studentas siūlo pateikti paprastą metodą, kaip funkcijos išvestinė sukelia prieštaringą padidinimo algoritmą. Kylančio spindulio kryptimi. Tai prasminga kaip bendra situacija. Anksčiau pažymėjome konkretaus matematinės operacijos atlikimo pradžią, o šiandien bus atvirkščiai. Galbūt sprendžiant išvestį internetu vėl iškils problema ir diskusijose mokytojų susirinkime priimsime bendrą nuomonę, kad ją išsaugotume. Tikimės visų susitikimo dalyvių supratimo. Loginė prasmė slypi išvestinės skaičiuoklės aprašyme skaičių rezonanse apie problemos minties pateikimo seką, į kurią praėjusiame amžiuje atsakė didieji pasaulio mokslininkai. Tai padės iš transformuotos išraiškos išgauti sudėtingą kintamąjį ir internete rasti išvestinę, kad būtų atliktas didžiulis to paties tipo veiksmas. Tiesa daug kartų geresnė nei spėjimai. Mažiausia vertė tendencijoje. Naudojant unikalią paslaugą, rezultatas netruks laukti tiksli vieta, kuriai yra išvestinės esmė internete išsamiai. Netiesiogiai, bet iki esmės, kaip sakė vienas išmintingas žmogus, daugelio studentų iš skirtingų sąjungos miestų prašymu buvo sukurta internetinė išvestinių finansinių priemonių skaičiuoklė. Jei yra skirtumas, kam tada spręsti du kartus. Pateiktas vektorius yra toje pačioje pusėje kaip ir normalus. Praėjusio šimtmečio viduryje funkcijų diferenciacija nebuvo suvokiama taip, kaip šiandien. Dėl vykstančių pokyčių atsirado internetinė matematika. Laikui bėgant, studentai pamiršta tinkamai įvertinti matematikos dalykus. Išvestinės problemos sprendimas internete bus pagrįstas iššūkis mūsų disertacijai, pagrįstai teorijos taikymu, paremtu praktinėmis žiniomis. Ji viršys esamą pateikimo faktoriaus reikšmę ir formulę parašysime aiškia funkcijos forma. Pasitaiko, kad išvestinę priemonę reikia iš karto rasti internete, nenaudojant jokios skaičiuoklės, tačiau visada galite pasinaudoti studento gudrybe ir vis tiek pasinaudoti tokia paslauga kaip svetainė. Taigi studentas sutaupys daug laiko kopijuodamas pavyzdžius iš neapdoroto sąsiuvinio į galutinę formą. Jei nėra prieštaravimų, naudokite paslaugą žingsnis po žingsnio sprendimas tokių sudėtingų pavyzdžių.

Sprendžiant įvairios užduotys geometrija, mechanika, fizika ir kitos žinių šakos tapo būtinos naudojant tą patį šios funkcijos analizės procesą y=f(x) gauti naują funkciją, pavadintą išvestinė funkcija(arba tiesiog duotosios funkcijos f(x) išvestinė ir yra pažymėtas simboliu

Procesas, kurio metu iš tam tikros funkcijos f(x) gauti naują funkciją f“ (x), paskambino diferenciacija ir jis susideda iš šių trijų žingsnių: 1) pateikite argumentą x prieaugis  x ir nustatyti atitinkamą funkcijos prieaugį  y = f(x+ x) -f(x); 2) užmegzti ryšį

3) skaičiavimas x pastovus ir  x0, randame
, kurį žymime f“ (x), tarsi pabrėžiant, kad gaunama funkcija priklauso tik nuo reikšmės x, ties kuria einame iki ribos. Apibrėžimas: Išvestinė y " =f " (x) duota funkcija y=f(x) duotam x vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, su sąlyga, kad argumento prieaugis linkęs į nulį, jei, žinoma, ši riba egzistuoja, t.y. baigtinis. Taigi,
, arba

Atkreipkite dėmesį, kad jei tam tikra verte x, pavyzdžiui, kai x=a, požiūris
adresu  x0 nėra linkęs į baigtinę ribą, tada šiuo atveju jie sako, kad funkcija f(x) adresu x=a(arba taške x=a) neturi išvestinės arba taške nėra diferencijuojamas x=a.

2. Geometrinė išvestinės reikšmė.

Apsvarstykite funkcijos y = f (x), diferencijuojamos taško x 0 kaimynystėje, grafiką.

f(x)

Panagrinėkime savavališką tiesę, einančią per funkcijos grafiko tašką – tašką A(x 0, f (x 0)) ir kertančią grafiką tam tikrame taške B(x;f(x)). Tokia linija (AB) vadinama sekantu. Iš ∆ABC: ​​AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Kadangi AC || Ox, tada ALO = BAC = β (kaip atitinka lygiagrečiai). Bet ALO yra sekanto AB polinkio kampas į teigiamą Ox ašies kryptį. Tai reiškia, kad tanβ = k yra tiesės AB nuolydis.

Dabar sumažinsime ∆х, t.y. ∆х→ 0. Šiuo atveju taškas B pagal grafiką priartės prie taško A, o sekantė AB suksis. Sekanto AB ribinė padėtis taške ∆x→ 0 bus tiesė (a), vadinama funkcijos y = f (x) grafiko liestine taške A.

Jei lygybėje tgβ =∆y/∆x einame į ribą kaip ∆x → 0, gausime
ortg =f "(x 0), kadangi
 - Ox ašies teigiamos krypties liestinės polinkio kampas
, pagal išvestinės apibrėžimą. Bet tg = k yra liestinės kampinis koeficientas, o tai reiškia, kad k = tg = f "(x 0).

Taigi, geometrinė išvestinės reikšmė yra tokia:

Funkcijos taške x išvestinė 0 lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui, nubrėžtam taške su abscise x 0 .

3. Fizinė vedinio reikšmė.

Apsvarstykite taško judėjimą tiesia linija. Tegu yra taško koordinatė bet kuriuo momentu x(t). Yra žinoma (iš fizikos kurso), kad vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį yra lygus per šį laikotarpį nuvažiuoto atstumo ir laiko santykiui, t.y.

Vav = ∆x/∆t. Eikime į ribą paskutinėje lygybėje kaip ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - momentinis greitis momentu t 0, ∆t → 0.

ir lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (pagal išvestinės apibrėžimą).

Taigi, (t) =x"(t).

Fizinė išvestinės reikšmė yra tokia: funkcijos išvestinėy = f(x) taškex 0 yra funkcijos kitimo greitisf(x) taškex 0

Išvestinė naudojama fizikoje norint rasti greitį pagal žinomą koordinačių ir laiko funkciją, pagreitį pagal žinomą greičio ir laiko funkciją.

(t) = x"(t) – greitis,

a(f) = "(t) – pagreitis arba

Jei žinomas materialaus taško judėjimo apskritime dėsnis, tada galima rasti kampinį greitį ir kampinį pagreitį sukimosi metu:

φ = φ(t) – kampo pokytis laikui bėgant,

ω = φ"(t) – kampinis greitis,

ε = φ"(t) – kampinis pagreitis arba ε = φ"(t).

Jei yra žinomas nehomogeninio strypo masės pasiskirstymo dėsnis, tai galima rasti nehomogeninio strypo tiesinį tankį:

m = m(x) – masė,

x  , l - strypo ilgis,

p = m"(x) – tiesinis tankis.

Naudojant išvestinę, sprendžiami tamprumo ir harmoninių virpesių teorijos uždaviniai. Taigi, pagal Huko dėsnį

F = -kx, x – kintamoji koordinatė, k – spyruoklės elastingumo koeficientas. Padėję ω 2 =k/m, gauname spyruoklės švytuoklės diferencialinę lygtį x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

čia ω = √k/√m virpesių dažnis (l/c), k – spyruoklės standumas (H/m).

Formos y" + ω 2 y = 0 lygtis vadinama harmoninių virpesių (mechaninių, elektrinių, elektromagnetinių) lygtimi. Tokių lygčių sprendimas yra funkcija.

y = Asin(ωt + φ 0) arba y = Acos(ωt + φ 0), kur

A - virpesių amplitudė, ω - ciklinis dažnis,

φ 0 – pradinė fazė.

Kai žmogus žengia pirmuosius savarankiškus žingsnius studijuodamas matematinę analizę ir ima klausinėti nepatogių klausimų, nebebus taip paprasta išsisukti nuo frazės, kad „kopūstuose rasta diferencialo skaičiavimas“. Todėl atėjo laikas apsispręsti ir atskleisti gimdymo paslaptį išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelės. Pradėta straipsnyje apie vedinio reikšmę, kurią labai rekomenduoju išstudijuoti, nes ten tik pažiūrėjome išvestinės sąvoką ir pradėjome spustelėti temos problemas. Ta pati pamoka turi ryškią praktinę orientaciją, be to,

toliau aptariami pavyzdžiai iš esmės gali būti įsisavinti grynai formaliai (pvz., kai nėra laiko/noro gilintis į vedinio esmę). Taip pat labai pageidautina (bet vėlgi nebūtina), kad būtų galima rasti išvestines naudojant „įprastą“ metodą – bent jau dviejų pagrindinių pamokų lygiu: Kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę ir išvestinę.

Tačiau yra vienas dalykas, be kurio dabar tikrai negalime apsieiti, tai yra funkcijų ribos. Turite SUPRASTAI, kas yra riba, ir sugebėti jas išspręsti bent jau vidutiniu lygiu. Ir viskas dėl išvestinės

funkcija taške nustatoma pagal formulę:

Leiskite jums priminti pavadinimus ir terminus: jie skambina argumentų prieaugis;

– funkcijos padidėjimas;

– tai VIENIEJI simboliai („delta“ negali būti „nuplėšta“ nuo „X“ arba „Y“).

Akivaizdu, kad tai, kas yra „dinaminis“ kintamasis, yra konstanta ir ribos apskaičiavimo rezultatas – skaičius (kartais - "pliusas" arba "minusas" begalybė).

Kaip tašką galite laikyti bet kurią vertę apibrėžimo sritis funkcija, kurioje egzistuoja darinys.

Pastaba: sąlyga „kurioje yra išvestinė priemonė“ yra V bendras atvejis reikšmingas! Taigi, pavyzdžiui, nors taškas yra įtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį, jo išvestinė

ten neegzistuoja. Todėl formulė

punkte netaikomas

o sutrumpinta formuluotė be išlygos būtų neteisinga. Panašūs faktai galioja ir kitoms funkcijoms su „pertraukomis“ grafike, ypač arcsinui ir arkosinusui.

Taigi, pakeitę , gauname antrą darbo formulę:

Atkreipkite dėmesį į klastingą aplinkybę, galinčią suklaidinti arbatinuką: šioje riboje „x“, būdamas nepriklausomas kintamasis, atlieka statistikos vaidmenį, o „dinamiką“ vėl nustato prieaugis. Limito skaičiavimo rezultatas

yra išvestinė funkcija.

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta pirmiau, suformuluojame dviejų tipiškų problemų sąlygas:

- Rasti išvestinė taške, naudojant išvestinės apibrėžimą.

- Rasti išvestinė funkcija, naudojant išvestinės apibrėžimą. Ši versija, mano pastebėjimais, yra daug dažnesnė ir jai bus skiriamas pagrindinis dėmesys.

Esminis skirtumas tarp užduočių yra tas, kad pirmuoju atveju reikia rasti skaičių (pasirinktinai, begalybė) o antroje –

funkcija Be to, darinio gali iš viso nebūti.

kaip?

Sukurkite santykį ir apskaičiuokite ribą.

Iš kur jis atsirado? išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelė ? Vienintelės ribos dėka

Atrodo kaip magija, bet

realybėje – apgaulė ir jokios apgaulės. Pamokoje Kas yra darinys? Pradėjau žiūrėti konkrečių pavyzdžių, kur, naudodamas apibrėžimą, radau tiesinės ir kvadratinės funkcijos išvestines. Kognityvinio apšilimo tikslais ir toliau trikdysime darinių lentelė, tobulinant algoritmą ir techninius sprendimus:

Iš esmės reikia įrodyti ypatinga byla galios funkcijos išvestinė, kuri dažniausiai rodoma lentelėje: .

Sprendimas techniškai įforminamas dviem būdais. Pradėkime nuo pirmojo, jau žinomo požiūrio: kopėčios prasideda nuo lentos, o išvestinė funkcija prasideda nuo išvestinės taške.

Apsvarstykite tam tikrą (konkretų) tašką, priklausantį apibrėžimo sritis funkcija, kurioje yra išvestinė. Šioje vietoje nustatykime prieaugį (žinoma, neperžengiant o/o -ya) ir sudaryti atitinkamą funkcijos prieaugį:

Apskaičiuokime ribą:

Neapibrėžtis 0:0 pašalinama standartine technika, laikoma dar pirmajame amžiuje prieš Kristų. Padauginkime

konjuguotos išraiškos skaitiklis ir vardiklis :

Tokios ribos sprendimo technika išsamiai aptariama įvadinėje pamokoje. apie funkcijų ribas.

Kadangi galite pasirinkti bet kurį intervalo tašką kaip

Tada, atlikę pakeitimą, gauname:

Dar kartą pasidžiaukime logaritmais:

Raskite funkcijos išvestinę, naudodami išvestinės apibrėžimą

Sprendimas: apsvarstykime kitokį požiūrį į tą pačią užduotį. Ji lygiai tokia pati, bet dizaino požiūriu racionalesnė. Idėja yra atsikratyti

apatinį indeksą ir vietoj raidės naudokite raidę.

Apsvarstykite savavališką tašką, priklausantį apibrėžimo sritis funkcija (intervalas) ir nustatykite jos prieaugį. Bet čia, beje, kaip ir daugeliu atvejų, galite apsieiti be jokių išlygų, nes logaritminė funkcija yra diferencijuojama bet kuriame apibrėžimo srities taške.

Tada atitinkamas funkcijos padidėjimas yra:

Raskime išvestinę:

Dizaino paprastumą atsveria painiava

pasitaiko tarp pradedančiųjų (ir ne tik). Juk esame įpratę, kad „X“ raidė keičiasi limite! Bet čia viskas kitaip: - senovinė statula, ir - gyvas lankytojas, sparčiai einantis muziejaus koridoriumi. Tai yra, „x“ yra „kaip konstanta“.

Apie neapibrėžtumo pašalinimą pakomentuosiu žingsnis po žingsnio:

(1) Naudojant logaritmo savybę.

(2) Skliausteliuose skaitiklį padalinkite iš vardiklio termino pagal terminą.

(3) Vardiklyje dirbtinai padauginame ir padalijame iš „x“, kad

pasinaudokite nuostabia riba , o as be galo mažas išsiskiria.

Atsakymas: pagal darinio apibrėžimą:

Arba trumpai:

Siūlau pačiam susikurti dar dvi lentelės formules:

Raskite išvestinę pagal apibrėžimą

IN tokiu atveju sudarytą prieaugį patogu iš karto sumažinti iki bendro vardiklio. Apytikslis pavyzdys užduoties atlikimas pamokos pabaigoje (pirmas metodas).

Raskite išvestinę pagal apibrėžimą

Ir čia viskas turi būti sumažinta iki nepaprastos ribos. Sprendimas įforminamas antruoju būdu.

Nemažai kitų lentelės vediniai. Visas sąrašas galima rasti mokykliniame vadovėlyje arba, pavyzdžiui, Fichtenholtz 1 tome. Nematau prasmės kopijuoti diferenciacijos taisyklių įrodymus iš knygų – jie taip pat generuojami

formulę

Pereikime prie faktiškai iškilusių užduočių: 5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę , naudojant išvestinės apibrėžimą

Sprendimas: naudokite pirmąjį dizaino stilių. Panagrinėkime tam tikrą tašką, kuris priklauso, ir nustatykime argumento prieaugį. Tada atitinkamas funkcijos padidėjimas yra:

Galbūt kai kurie skaitytojai dar nėra iki galo supratę principo, pagal kurį reikia didinti žingsnius. Paimkite tašką (skaičius) ir suraskite jame funkcijos reikšmę: , tai yra, į funkciją

vietoj "X" turėtumėte pakeisti. Dabar paimkime

Sukompiliuota funkcijos prieaugis Gali būti naudinga nedelsiant supaprastinti. Kam? Palengvinkite ir sutrumpinkite sprendimą iki tolesnės ribos.

Mes naudojame formules, atidarome skliaustus ir sumažiname viską, ką galima sumažinti:

Kalakutiena išdarinėta, su kepsniu jokių problemų:

Galiausiai:

Kadangi kaip reikšmę galime pasirinkti bet kurį realų skaičių, pakeičiame ir gauname .

Atsakymas : a-prior.

Patvirtinimo tikslais suraskime išvestinę priemonę naudodami taisykles

diferenciacija ir lentelės:

Visada naudinga ir malonu iš anksto žinoti teisingą atsakymą, todėl siūlomą funkciją geriau „greitai“ diferencijuoti mintyse arba juodraštyje, pačioje sprendimo pradžioje.

Raskite funkcijos išvestinę pagal išvestinės apibrėžimą

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Rezultatas akivaizdus:

Grįžkime prie 2 stiliaus: 7 pavyzdys

Iškart išsiaiškinkime, kas turėtų nutikti. Autorius sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklė:

Sprendimas: apsvarstykite savavališką tašką, priklausantį, nustatykite jo argumento prieaugį ir sudarykite prieaugį

Raskime išvestinę:

(1) Mes naudojame trigonometrinę formulę

(2) Po sinusu atveriame skliaustus, po kosinusu pateikiame panašius terminus.

(3) Po sinusu atšaukiame terminus, po kosinusu dalijame skaitiklį iš vardiklio termino pagal terminą.

(4) Dėl sinuso keistumo išimame „minusą“. Pagal kosinusą

nurodome, kad terminas .

(5) Atliekame dirbtinį vardiklio dauginimą, kad galėtume naudoti Pirmas nuostabi riba . Taigi neapibrėžtumas pašalinamas, sutvarkykime rezultatą.

Atsakymas: pagal apibrėžimą, kaip matote, pagrindinis nagrinėjamos problemos sunkumas priklauso nuo to

pačios ribos sudėtingumas + nedidelis pakuotės originalumas. Praktikoje pasitaiko abu projektavimo būdai, todėl kiek įmanoma detaliau aprašysiu abu būdus. Jie yra lygiaverčiai, bet vis tiek, mano subjektyviu įspūdžiu, manekenams labiau patartina laikytis 1 varianto su „X-nulis“.

Naudodamiesi apibrėžimu, raskite funkcijos išvestinę

Tai užduotis, kurią turite išspręsti patys. Pavyzdys sukurtas ta pačia dvasia kaip ir ankstesniame pavyzdyje.

Pažvelkime į retesnę problemos versiją:

Raskite funkcijos išvestinę taške naudodami išvestinės apibrėžimą.

Pirma, kokia turėtų būti esmė? Skaičius Apskaičiuokime atsakymą standartiniu būdu:

Sprendimas: aiškumo požiūriu ši užduotis yra daug paprastesnė, nes formulėje, o ne

atsižvelgiama į konkrečią vertę.

Nustatykime prieaugį taške ir sudarykime atitinkamą funkcijos prieaugį:

Apskaičiuokime išvestinę taške:

Mes naudojame labai retą liestinės skirtumo formulę ir dar kartą sumažiname tirpalą iki pirmojo

nuostabi riba:

Atsakymas: pagal išvestinės apibrėžimą taške.

Problemą išspręsti nėra taip sunku ir „į bendras vaizdas“- užtenka pakeisti nagą arba tiesiog priklausomai nuo projektavimo būdo. Šiuo atveju aišku, kad rezultatas bus ne skaičius, o išvestinė funkcija.

10 pavyzdys Naudodamiesi apibrėžimu, raskite funkcijos išvestinę taške

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Paskutinė papildomos užduotis pirmiausia skirta studentams, nuodugniai ištyrusiems matematinę analizę, tačiau tai nepakenks ir niekam kitam:

Ar funkcija bus diferencijuota? taške?

Sprendimas: Akivaizdu, kad dalimis duota funkcija yra tolydi taške, bet ar ji ten bus diferencijuota?

Sprendimo algoritmas, ir ne tik atskiroms funkcijoms, yra toks:

1) Raskite kairiąją išvestinę duotame taške: .

2) Raskite dešiniąją išvestinę duotame taške: .

3) Jei vienpusės išvestinės yra baigtinės ir sutampa:

, tada funkcija taške yra diferencijuojama

geometriškai čia yra bendra liestinė (žr. teorinę pamokos dalį Išvestinio apibrėžimas ir reikšmė).

Jei gaunami du skirtingos reikšmės: (vienas iš jų gali pasirodyti begalinis), tada funkcija taške nesiskiria.

Jeigu abi vienpusės išvestinės lygios begalybei

(net jei jie turi skirtingus ženklus), tada funkcija nėra

yra diferencijuojamas taške, tačiau yra begalinė išvestinė ir bendra vertikalioji grafiko liestinė (žr. 5 pamokos pavyzdįNormali lygtis) .

Data: 2014-11-20

Kas yra darinys?

Darinių lentelė.

Išvestinė yra viena iš pagrindinių aukštosios matematikos sąvokų. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Pažinkime vieni kitus, be griežtų matematinių formuluočių ir įrodymų.

Ši pažintis leis jums:

Suvokti paprastų užduočių su išvestiniais esmę;

Sėkmingai išspręskite šias paprasčiausias užduotis;

Pasiruoškite rimtesnėms pamokoms apie išvestines priemones.

Pirma - maloni staigmena.)

Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija ir dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinių pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!

Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Tai viskas. Tai mane džiugina.

Pradėkime susipažinti?)

Terminai ir pavadinimai.

Elementariojoje matematikoje yra daug įvairių matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną operaciją, elementarioji matematika taps aukštesnė. Tai nauja operacija paskambino diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tiesiog matematinė funkcijos operacija. Mes priimame bet kokią funkciją ir, atsižvelgiant į tam tikros taisyklės, pakeiskite jį. Rezultatas bus nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.

Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.

Darinys- šio veiksmo rezultatas.

Visai kaip pvz. suma- pridėjimo rezultatas. Arba privatus- padalijimo rezultatas.

Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotės yra tokios: rasti funkcijos išvestinę; paimti išvestinę; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir taip toliau. Tai viskas tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš problemos sprendimo žingsnių.

Išvestinė pažymėta brūkšneliu funkcijos viršuje, dešinėje. Kaip šitas: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.

Skaitymas igrek insultas, ef insultas iš x, es insultas iš te, nu supranti...)

Pirminis dydis taip pat gali nurodyti konkrečios funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinės yra žymimos diferencialais, tačiau šioje pamokoje tokio žymėjimo nenagrinėsime.

Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Belieka išmokti juos išspręsti.) Leiskite dar kartą priminti: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles. Keista, bet tokių taisyklių yra labai mažai.

Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Štai šie trys ramsčiai:

1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.

3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje pažvelgsime į išvestinių išvestinių lentelę.

Darinių lentelė.

Pasaulyje yra be galo daug funkcijų. Tarp šios veislės yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktinis pritaikymas. Šios funkcijos randamos visuose gamtos dėsniuose. Iš šių funkcijų, kaip iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. Remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija, tai gana daug darbo reikalaujantis dalykas. O matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Jie prieš mus apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestis. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)

Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairė - elementari funkcija, dešinėje yra jo išvestinė.

	Funkcija y	Funkcijos y išvestinė y"
1	C (pastovi reikšmė)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – bet koks skaičius)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	nuodėmė x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnalas a x
	ln x ( a = e)

Šioje išvestinių lentelėje rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę. Galios funkcijos išvestinė yra viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar suprantate užuominą?) Taip, išvestinių lentelę patartina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite išspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Kaip suprantate, rasti išvestinės lentelės reikšmę nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba užduoties formuluotėje, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje...

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3

Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra bendros formos galios funkcijos išvestinė (trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame tris ir atidžiai užrašome rezultatą:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Viskas.

Atsakymas: y" = 3x 2

2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0į tą patį darinį. Būtent tokia tvarka! Priešingu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Leiskite jums priminti, kad išvestinė yra nauja funkcija.

Naudodami planšetę randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:

y" = (sin x)" = cosx

Išvestinėje pakeičiame nulį:

y"(0) = cos 0 = 1

Tai bus atsakymas.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos nėra.

Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, ieškoti mūsų funkcijos išvestinės yra gana varginanti. Lentelė nepadeda...

Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra dvigubo kampo kosinusas, tada viskas iš karto pagerės!

Taip taip! Atminkite, kad pakeiskite pradinę funkciją prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Naudojant dvigubo kampo kosinuso formulę:

Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cosx. Ir tai yra lentelės funkcija. Iš karto gauname:

Atsakymas: y" = - sin x.

Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:

4. Raskite funkcijos išvestinę:

Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei prisimena elementarią matematiką, veiksmus su galiomis... Tada šią funkciją visai įmanoma supaprastinti. Kaip šitas:

O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Rašome tiesiai pagal formulę:

Tai viskas. Tai bus atsakymas.

Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos ramsčiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje mokysimės diferencijavimo taisyklių.