1)
; 2)
; 3)
;

3)
; 5)
; 6)
;

7)
; 8)
; 9)
;

10)
; 11)
; 12)
;

13)
.

Be šių formulių, taip pat naudojamos šios formulės:

14) daugianomas įjungtas
yra lygus didžiausiam nariui, o esant nuliui – mažiausiam nariui;

15)
adresu
, Jei tik
Ir
;

16)
,
adresu
(
,
);

17)
adresu
.

Kai kurios iš šių formulių buvo gautos §10. Išvardykime dar keletą:

5)
;

10)
;

15) Leiskite , Tada
, t.y.

(plačiąja prasme).

IV Ekvivalentų naudojimas apskaičiuojant ribas

Teorema. Leisti
, A
adresu
. Jeigu
, tada
.

Įrodymas.

Praktinė išvada. Skaičiuojant koeficientų ir funkcijų sandaugų ribas, kiekvieną iš jų galima pakeisti lygiaverčiu.

Pavyzdžiai.

4.

.

Čia ekvivalentai buvo naudojami sinuso, logaritmo, arktangento, laipsnio funkcijai ir tokiai išraiškai kaip polinomas (algebrinė kintamojo laipsnių suma su neneigiamais eksponentais, o ne tik natūraliais, kaip įprastame daugianario).

5. Apskaičiuokite ribą
. Naudojant pagrindinę logaritminę tapatybę, galios logaritmo savybę ir funkcijos tęstinumą
, mes gauname:

Išveskime čia reikalingą lygiavertiškumo formulę
:

Taigi,
.

6. Pateiksime keletą pavyzdžių, kaip „priderinti“ prie lygiavertiškumo lentelės formos:

adresu
;

adresu
;

adresu
.

Atsargumo pastaba. Naudokite atitikmenis (nurodyta forma
) sumose, funkcijų skirtumai ir po funkcijų ženklais, paprastai kalbant, yra neįmanomi. Išimtis yra galios funkcija, ty jei
, Tai
,
.

Tačiau yra ir kita atitikmenų forma, kurią galima naudoti visur. Šią formą apsvarstysime kitoje pastraipos dalyje.

V Asimptotinės formulės

Pagal antrąjį santykio ekvivalentiškumo apibrėžimą
lygiavertis
arba
. Taigi, lygiavertiškumo lentelę galima parašyti vadinamąja forma. asimptotinės formulės. Išvardinkime tik keletą iš jų. Visi kiti mokiniai turi mokėti daryti išvadas savarankiškai.

Todėl, kai
:

,
,

,
,

Šios asimptotinės formulės gali būti naudojamos sumomis, skirtumais ir funkcijų ženklais. Tačiau jie ne visada atsako į pateiktą klausimą.

Pavyzdžiai.

7.

.

Čia mes naudojame faktą, kad pagal simbolio apibrėžimą
mes turime:
.

8. = – begalinio mažumo koeficientas gali būti bet koks. Ši situacija reiškia, kad atitinkama asimptotinė formulė nėra pakankamai tiksli. Temoje „Taylor ir Maclaurin formulės“ bus pateikti paaiškinimai:

,
.

Užduotis. Apskaičiuokite ribas:

A)
; b)
.

Paskaita 7

§12. Funkcijos tęstinumo samprata

Apsvarstykite funkciją y= f(x), apibrėžtas taške x 0 ir kai kuriose jo apylinkėse.

1 apibrėžimas. Funkcija f(xx 0 jei

. (1)

Nes
, tada santykis (1) gali būti parašytas tokia forma:

,

tie. Nepertraukiamai funkcijai ribinis ženklas gali būti dedamas po funkcijos ženklu.

Pateikime dar vieną tęstinumo apibrėžimą, ekvivalentišką 1 apibrėžimui. Norėdami tai padaryti, lygybėje (1) perkeliame f(x 0) V kairė pusė ir pristatyti po ženklu

la. Kadangi sąlygos x
x 0 ir ( x – x 0)
0 yra lygiaverčiai, tada gauname:

(2)

Skirtumas x – x 0 vadinamas argumentų prieaugiu x taške x 0 ir žymimas Δ x, ir skirtumas f(x)– f(x 0) – funkcijos padidėjimas ir žymimas Δ y. Šiame žymėjime lygybė (2) yra tokia:

. (3)

Šis ryšys yra dar vienas tęstinumo apibrėžimas, kurį galima suformuluoti taip:

2 apibrėžimas. Funkcija f(x) vadinamas tęstiniu taške x 0, jei jo prieaugisΔ y= o(1)atΔ x
0.

Pavyzdys. Įrodykime tęstinumą y= nuodėmė x savavališkame taške x 0 .

Gauta išraiška yra apribotos funkcijos sandauga
iki be galo mažo (pagal 2 lemą, §10
prieΔ x
0 ). Pagal vieną iš savybių b.m. funkcijos, kurias gauname Δ y= o(1)atΔ x
0, kas įrodo tęstinumą y= nuodėmė x savavališkame taške x 0 .

3 apibrėžimas. Funkcija f(x) vadinamas tęstiniu taške x 0 kairėje (dešinėje), jei

.

Pavyzdžiui, funkcija y= [x]yra tęstinis dešinėje bet kuriame sveikojo skaičiaus taške, nes[ k+ 0]= [k]= k, tuo pačiu metu kairėje jis nėra tęstinis [ k– 0]= k– 1≠ [k].

Iš bendrųjų teoremų apie funkcijų ribas nesunku gauti tokius rezultatus.

1 teorema. Funkcija f(x) ištisinis taške x 0 tada ir tik tada, kai jis yra ištisinis šioje vietoje tiek dešinėje, tiek kairėje, t.y.

f(x 0 + 0)= f(x 0 – 0)= f(x 0)

2 teorema. Tegul funkcijos f(x)andg( x) nenutrūkstamas taške x 0 ir funkcija F(u)yra tolydis taške u 0 = f(x 0).Tada funkcijos f(x)±g( x), f(x)·g (x), f(x):g( x) (su sąlyga g ( x 0)≠0 ) Ir F(f(x)) ištisinis taške x 0 .

Jei galėtume įrodyti visų esminių dalykų tęstinumą elementarios funkcijos(kaip ir sinusui), tada iš 2 teoremos gautume dar vieną svarbų rezultatą.

3 teorema. Kiekviena elementari funkcija yra ištisinė bet kuriame savo apibrėžimo srities taške (įtraukta į šią sritį su tam tikra apylinke).

4 apibrėžimas. Jie sako, kad funkcija f(x) nuolatinis intervale
, jei jis yra tęstinis bet kuriame intervalo taške (intervalo ribiniuose taškuose laikomas vienpusis tęstinumas).

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Siųsti į mūsų elektroninio pašto adresas geros kokybės skenuotą kopiją ar nuotrauką, ir mes padarysime reikiamą dublikatą.

Kokius mokėjimo tipus sutinkate? Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos pristatymo ir apmokėjimo už dokumentus sąlygos aprašytos skyriuje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.

Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba įvairiose šalies vietose, per dieną parengdami virš 10 dokumentų. Bėgant metams mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti užimtumo problemas arba persikelti gyventi į kitą vietą gerai apmokamas darbas. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, to padaryti tiesiog neįmanoma fiziškai: sumokate už užsakymą iškart, kai gaunate jį į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.

Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką beveik pilna bazė dokumentai, išduoti beveik visų šalies universitetų ir skirtingiems išdavimo metams. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.

Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų ir klaidų? Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Nustačius rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, o pastebėtus defektus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba el. rašyme išsiųsdamas laišką adresu paštu.
Dokumentą kuo greičiau pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Siekdami išvengti tokių nesusipratimų, prieš pildydami pirminę formą klientui el. paštu išsiunčiame būsimo dokumento maketą, kad būtų galima patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.

Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės? Atsakymas Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir kt.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. mums.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.

Naujausios apžvalgos

Viktoras:

Esu labai patenkinta savo diplomu. Ačiū. Jei taip pat išmoktumėte pasidaryti pasus, tai būtų idealu.

Karina:

Šiandien gavau diplomą. Ačiū už kokybišką darbą. Taip pat buvo laikomasi visų terminų. Tikrai rekomenduosiu jus visiems savo draugams.

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Atsiųskite nuskaitytą kopiją ar geros kokybės nuotrauką mūsų el. pašto adresu ir mes pagaminsime reikiamą dublikatą.

Kokius mokėjimo tipus sutinkate? Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos pristatymo ir apmokėjimo už dokumentus sąlygos aprašytos skyriuje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.

Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba įvairiose šalies vietose, per dieną parengdami virš 10 dokumentų. Bėgant metams mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti įsidarbinimo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, to padaryti tiesiog neįmanoma fiziškai: už užsakymą sumokate iškart, kai gaunate jį į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.

Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik išbaigta beveik visų šalies universitetų išduotų dokumentų, išduotų skirtingais išdavimo metais, duomenų bazė. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.

Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų ir klaidų? Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Pastebėjus rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, tačiau apie pastebėtus trūkumus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba raštu, atsiųsdami el.
Dokumentą kuo greičiau pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Siekdami išvengti tokių nesusipratimų, prieš pildydami pirminę formą klientui el. paštu išsiunčiame būsimo dokumento maketą, kad būtų galima patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.

Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės? Atsakymas Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir kt.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. mums.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.

Naujausios apžvalgos

Viktoras:

Esu labai patenkinta savo diplomu. Ačiū. Jei taip pat išmoktumėte pasidaryti pasus, tai būtų idealu.

Karina:

Šiandien gavau diplomą. Ačiū už kokybišką darbą. Taip pat buvo laikomasi visų terminų. Tikrai rekomenduosiu jus visiems savo draugams.