Denklemleri ondalık logaritmalarla çözme. Logaritmalar: örnekler ve çözümler

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Logaritmik ifadeler, örneklerin çözümü. Bu yazıda logaritma çözme ile ilgili problemleri ele alacağız. Görevler, ifadenin değerini bulma sorusunu gündeme getirir. Unutulmamalıdır ki logaritma kavramı birçok görevde kullanılmaktadır ve anlamını anlamak son derece önemlidir. KULLANIM'a gelince, logaritma denklemlerin çözümünde, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.

İşte logaritmanın anlamını anlamak için örnekler:

Temel logaritmik kimlik:

Her zaman hatırlamanız gereken logaritma özellikleri:

*Çarpının logaritması, faktörlerin logaritmalarının toplamına eşittir.

* * *

* Bölümün (kesir) logaritması, faktörlerin logaritmasının farkına eşittir.

* * *

* Derecenin logaritması, üssün çarpımı ile tabanının logaritmasına eşittir.

* * *

*Yeni üsse geçiş

* * *

Daha fazla özellik:

* * *

Logaritmaların hesaplanması, üslerin özelliklerinin kullanılmasıyla yakından ilgilidir.

Bunlardan bazılarını listeliyoruz:

Bu özelliğin özü, pay paydaya aktarılırken ve tam tersi olduğunda, üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:

Bu özelliğin sonucu:

* * *

Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır, ancak üsler çarpılır.

* * *

Gördüğünüz gibi, logaritma kavramı çok basittir. Ana şey, belirli bir beceri kazandıran iyi bir uygulamaya ihtiyaç duyulmasıdır. Kesinlikle formüllerin bilgisi zorunludur. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi oluşmadıysa, basit görevleri çözerken kolayca hata yapılabilir.

Alıştırma yapın, önce matematik dersinden en basit örnekleri çözün, sonra daha karmaşık olanlara geçin. Gelecekte “çirkin” logaritmaların nasıl çözüldüğünü kesinlikle göstereceğim, sınavda böyleleri olmayacak ama ilgi görüyorlar, kaçırmayın!

Bu kadar! Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.

Bugün hakkında konuşacağız logaritma formülleri ve gösteri yapmak çözüm örnekleri.

Kendi başlarına, logaritmaların temel özelliklerine göre çözüm kalıplarını ifade ederler. Logaritma formüllerini çözüme uygulamadan önce, tüm özellikleri sizin için hatırlayalım:

Şimdi, bu formüllere (özelliklere) dayanarak şunu gösteriyoruz: logaritma çözme örnekleri.

Formüllere dayalı logaritma çözme örnekleri.

logaritma a tabanındaki pozitif bir b sayısı (log a b ile gösterilir), b > 0, a > 0 ve 1 ile b'yi elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üsdür.

Log a b = x tanımına göre, bu a x = b'ye eşittir, bu nedenle a a x = x'i loglayın.

Logaritmalar, örnekler:

log 2 8 = 3, çünkü 2 3 = 8

günlük 7 49 = 2 çünkü 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünkü 5 -1 = 1/5

ondalık logaritma tabanı 10 olan sıradan bir logaritmadır. lg olarak gösterilir.

log 10 100 = 2 çünkü 10 2 = 100

doğal logaritma- ayrıca normal logaritma logaritması, ancak e tabanıyla (e \u003d 2.71828 ... - irrasyonel bir sayı). ln olarak anılır.

Logaritmaların formüllerini veya özelliklerini hatırlamak arzu edilir, çünkü daha sonra logaritma, logaritmik denklemler ve eşitsizlikleri çözerken bunlara ihtiyacımız olacak. Her formülü tekrar örneklerle inceleyelim.

Temel logaritmik kimlik
bir günlük a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Ürünün logaritması, logaritmalarının toplamına eşittir.
log a (bc) = log a b + log a c
günlük 3 8.1 + günlük 3 10 = günlük 3 (8.1*10) = günlük 3 81 = 4
Bölümün logaritması, logaritmaların farkına eşittir
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Logaritma yapılabilen bir sayının derecesinin özellikleri ve logaritmanın tabanı
Bir logaritma sayısının üssü log a b m = mlog a b

Logaritmanın tabanının üssü log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

m = n ise, log a n b n = log a b elde ederiz

günlük 4 9 = günlük 2 2 3 2 = günlük 2 3
Yeni bir temele geçiş
log a b = log c b / log c a,
c = b ise, log b b = 1 elde ederiz.

sonra log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüğünüz gibi logaritma formülleri göründüğü kadar karmaşık değil. Şimdi, logaritma çözme örneklerini düşündükten sonra, logaritmik denklemlere geçebiliriz. Logaritmik denklemleri çözme örneklerini "" makalesinde daha ayrıntılı olarak ele alacağız. Kaçırma!

Çözümle ilgili hala sorularınız varsa, bunları makalenin yorumlarına yazın.

Not: Seçenek olarak yurtdışında başka bir sınıf eğitimi almaya karar verdim.

Yani, iki gücümüz var. Sayıyı en alt satırdan alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiye çıkarmanız gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16'yı elde etmek için ikiden dördüncü güce yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü almak için ikiyi altıncı güce yükseltmeniz gerekir. Bu tablodan görülebilir.

Ve şimdi - aslında, logaritmanın tanımı:

x argümanının a tabanının logaritması, x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken güçtür.

Gösterim: log a x \u003d b, burada a tabandır, x argümandır, b aslında logaritmanın eşit olduğu şeydir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8'in taban 2 logaritması üçtür çünkü 2 3 = 8). 2 64 = 6'yı da kaydedebilir çünkü 2 6 = 64 .

Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine logaritma denir. O halde tablomuza yeni bir satır ekleyelim:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
günlük 2 2 = 1	günlük 2 4 = 2	günlük 2 8 = 3	günlük 2 16 = 4	günlük 2 32 = 5	günlük 2 64 = 6

Ne yazık ki, tüm logaritmalar bu kadar kolay kabul edilmez. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. 5 sayısı tabloda yoktur, ancak mantık, logaritmanın segmentte bir yerde olacağını belirtir. çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bu tür sayılara irrasyonel denir: ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrar etmezler. Logaritma irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, şu şekilde bırakmak daha iyidir: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Logaritmanın iki değişkenli (temel ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, birçok insan temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bir göz atın:

Önümüzde logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Unutma: logaritma güçtür, argümanı almak için tabanı yükseltmeniz gereken. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızı ile vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Bu harika kuralı öğrencilerime ilk derste anlatıyorum - ve kafa karışıklığı yok.

Tanımı bulduk - logaritmaların nasıl sayılacağını öğrenmek için kalır, yani. "günlük" işaretinden kurtulun. Başlangıç olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını belirtelim:

Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritmanın tanımının indirgendiği rasyonel bir üs tarafından derecenin tanımından kaynaklanmaktadır.
Taban, birlikten farklı olmalıdır, çünkü herhangi bir güce bir birlik hala bir birimdir. Bu nedenle, “iki tane elde etmek için hangi güce yükseltilmelidir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalara denir geçerli aralık(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

B sayısında (logaritmanın değeri) herhangi bir kısıtlama bulunmadığına dikkat edin. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0.5 \u003d -1, çünkü 0,5 = 2 -1 .

Ancak, şimdi sadece logaritmanın ODZ'sini bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, sorunların derleyicileri tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Gerçekten de, temelde ve argümanda, yukarıdaki kısıtlamalara mutlaka uymayan çok güçlü yapılar olabilir.

Şimdi logaritmaları hesaplamak için genel şemayı düşünün. Üç adımdan oluşur:

a tabanını ve x argümanını mümkün olan en küçük tabanı birden büyük olan bir kuvvet olarak ifade edin. Yol boyunca ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
b değişkeni için denklemi çözün: x = a b ;
Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.

Bu kadar! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde olduğu gibi: onları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.

Bu şemanın belirli örnekler üzerinde nasıl çalıştığını görelim:

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25

Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak gösterelim: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Denklemi yapalım ve çözelim:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Bir cevap aldı: 2.

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın:

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64

Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Denklemi yapalım ve çözelim:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Bir cevap aldı: 3.

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1

Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Denklemi yapalım ve çözelim:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Bir yanıt aldı: 0.

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14

Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak gösterelim: 7 = 7 1 ; 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilmez, çünkü 7 1< 14 < 7 2 ;
Önceki paragraftan logaritmanın dikkate alınmadığı sonucu çıkar;
Cevap değişiklik yok: log 7 14.

Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olunur? Çok basit - sadece asal faktörlere ayırın. Genişlemede en az iki farklı faktör varsa, sayı tam bir güç değildir.

Bir görev. Sayının tam kuvvetlerinin olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; on dört

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tam derece, çünkü sadece bir çarpan vardır;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 tam bir güç değildir çünkü iki faktör vardır: 3 ve 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tam derece;
35 = 7 5 - yine tam bir derece değil;
14 \u003d 7 2 - yine kesin bir derece değil;

Ayrıca asal sayıların kendilerinin her zaman tam güçleri olduğuna dikkat edin.

ondalık logaritma

Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir ad ve atamaya sahiptirler.

x bağımsız değişkeninin ondalık logaritması, 10 tabanlı logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için 10 sayısını artırmanız gereken güç. Tanımlama: lg x .

Örneğin, log 10 = 1; günlük 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Şu andan itibaren ders kitabında “Find lg 0.01” gibi bir ifade geçtiğinde bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritmadır. Ancak, böyle bir atamaya alışkın değilseniz, her zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık sayılar için de geçerlidir.

doğal logaritma

Kendi gösterimi olan başka bir logaritma daha var. Bir anlamda, ondalık sayıdan bile daha önemlidir. Bu doğal logaritmadır.

x'in doğal logaritması, temel e logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: ln x .

Birçoğu soracak: e sayısı başka nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır, tam değeri bulunamaz ve yazılamaz. İşte sadece ilk sayılar:
e = 2.718281828459...

Bu sayının ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu araştırmayacağız. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = günlük e x

Böylece ln e = 1; günlük e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan, ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.

Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.