Matematik bilimin bilgeliğinin sembolüdür,

bilimsel titizlik ve basitlik örneği,

bilimde mükemmellik ve güzellik standardı.

Rus filozof, profesör A.V. Voloşinov

Modulo eşitsizlikleri

Okul matematiğinde çözülmesi en zor problemler eşitsizliklerdir., modül işaretinin altındaki değişkenleri içerir. Bu tür eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözmek için modülün özelliklerini iyi bilmek ve bunları kullanma becerisine sahip olmak gerekir.

Temel kavramlar ve özellikler

Gerçek bir sayının modülü (mutlak değer) belirtilen ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

Modülün basit özellikleri aşağıdaki ilişkileri içerir:

VE .

Not, son iki özelliğin herhangi bir çift derece için geçerli olduğunu.

Ayrıca, eğer , nerede , o zaman ve

Daha karmaşık modül özellikleri, modüller ile denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünde etkin bir şekilde kullanılabilen, aşağıdaki teoremlerle formüle edilir:

Teorem 1.Herhangi bir analitik fonksiyon için ve eşitsizlik.

Teorem 2. eşitlik eşitsizliğine eşittir.

Teorem 3. eşitlik eşitsizliğine eşittir.

Okul matematiğinde en yaygın eşitsizlikler, modulo işareti altında bilinmeyen değişkenler içeren, formun eşitsizlikleri ve nerede bazı pozitif sabitler.

Teorem 4. eşitsizlik çift ​​eşitsizliğe eşdeğerdir, ve eşitsizliğin çözümüeşitsizlikler kümesini çözmeye indirger ve .

Bu teorem, Teorem 6 ve 7'nin özel bir durumudur.

Daha karmaşık eşitsizlikler, modülü içeren formun eşitsizlikleridir, ve .

Bu tür eşitsizlikleri çözme yöntemleri aşağıdaki üç teorem kullanılarak formüle edilebilir.

Teorem 5. eşitsizlik iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir

VE 1)

Kanıt. O zamandan beri

Bu (1)'in geçerliliği anlamına gelir.

Teorem 6. eşitsizlik eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir

Kanıt.Çünkü , o zaman eşitsizlikten bunu takip eder . Bu koşul altında eşitsizlikve bu durumda ikinci eşitsizlik sistemi (1) tutarsız çıkıyor.

Teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 7. eşitsizlik bir eşitsizlik ve iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir

VE (3)

Kanıt. O zamandan beri eşitsizlik her zaman idam, eğer .

İzin vermek , o zaman eşitsizlikeşitsizliğe eşdeğer olacak, iki eşitsizlik kümesi buradan çıkar ve .

Teorem kanıtlanmıştır.

“Eşitsizlikler” konusundaki tipik problem çözme örneklerini düşünün., modül işaretinin altındaki değişkenleri içerir.

Modüllü eşitsizlikleri çözme

Modüllü eşitsizlikleri çözmenin en basit yöntemi,, modül genişlemesine dayalıdır. Bu yöntem genel, bununla birlikte, genel durumda, uygulanması çok hantal hesaplamalara yol açabilir. Bu nedenle, öğrenciler bu tür eşitsizlikleri çözmek için başka (daha verimli) yöntem ve teknikleri de bilmelidir. Özellikle, teoremleri uygulama becerisine sahip olmak gerekir, bu makalede verilmiştir.

örnek 1eşitsizliği çöz

. (4)

Çözüm.Eşitsizlik (4) "klasik" yöntemle - modül genişletme yöntemiyle çözülecektir. Bu amaçla, sayısal ekseni kırıyoruz noktalar ve aralıklar ve üç durum düşünün.

1. Eğer , o zaman , , , ve eşitsizlik (4) şeklini alır veya .

Burada durum ele alındığından, , eşitsizliğinin bir çözümüdür (4).

2. Eğer , o zaman eşitsizlikten (4) elde ederiz veya . Aralıkların kesişiminden beri ve boş, o zaman dikkate alınan aralıkta eşitsizliğin (4) çözümü yoktur.

3. Eğer , sonra eşitsizlik (4) şeklini alır veya . bariz ki aynı zamanda eşitsizliğin bir çözümüdür (4).

Cevap: , .

Örnek 2 eşitsizliği çöz.

Çözüm. Bunu varsayalım. Çünkü , sonra verilen eşitsizlik formu alır veya . Çünkü, o zaman ve dolayısıyla takip eder veya .

Ancak, bu nedenle veya.

Örnek 3 eşitsizliği çöz

. (5)

Çözüm.Çünkü , o zaman eşitsizlik (5) eşitsizliklere eşittir veya . Buradan, Teorem 4'e göre, bir dizi eşitsizliğimiz var ve .

Cevap: , .

Örnek 4eşitsizliği çöz

. (6)

Çözüm. belirtelim. Sonra (6) eşitsizliğinden , , veya eşitsizliklerini elde ederiz.

Buradan, aralık yöntemini kullanarak, alıyoruz. Çünkü , o zaman burada bir eşitsizlik sistemimiz var

(7) sisteminin birinci eşitsizliğinin çözümü iki aralığın birleşimidir. ve , ve ikinci eşitsizliğin çözümü çift eşitsizliktir.. Bu şu anlama gelir, eşitsizlikler sisteminin (7) çözümünün iki aralığın birleşimi olduğunu ve .

Cevap: ,

Örnek 5eşitsizliği çöz

. (8)

Çözüm. Eşitsizliği (8) aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz:

Veya .

Aralık yöntemini uygulama, eşitsizliğin çözümünü elde ederiz (8).

Cevap: .

Not. Teorem 5'in koşulunu koyarsak, elde ederiz.

Örnek 6 eşitsizliği çöz

. (9)

Çözüm. (9) eşitsizliğinden şu şekildedir:. Eşitsizliği (9) aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz:

Veya

O zamandan beri veya .

Cevap: .

Örnek 7eşitsizliği çöz

. (10)

Çözüm. O zamandan beri ve , o zaman veya .

Bu bağlamda ve eşitsizlik (10) şeklini alır

Veya

. (11)

Bundan veya . olduğundan, eşitsizlik (11) ayrıca veya anlamına gelir.

Cevap: .

Not. Teorem 1'i eşitsizliğin sol tarafına uygularsak (10), sonra alırız . Buradan ve eşitsizlikten (10) şu çıkar, bu veya . Çünkü , sonra eşitsizlik (10) şeklini alır veya .

Örnek 8 eşitsizliği çöz

. (12)

Çözüm. O zamandan beri ve eşitsizlik (12) şu anlama gelir: veya . Ancak, bu nedenle veya. Buradan veya elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 9 eşitsizliği çöz

. (13)

Çözüm. Teorem 7'ye göre, eşitsizliğin (13) çözümleri veya'dır.

Şimdi izin ver. Bu durumda ve eşitsizlik (13) formunu alır veya .

Aralıkları birleştirirsek ve , daha sonra formun eşitsizliği (13) için bir çözüm elde ederiz..

Örnek 10 eşitsizliği çöz

. (14)

Çözüm. Eşitsizliği (14) eşdeğer bir biçimde yeniden yazalım: . Teorem 1'i bu eşitsizliğin soluna uygularsak eşitsizliği elde ederiz.

Buradan ve Teorem 1'den şu şekildedir:, eşitsizliği (14) herhangi bir değer için sağlanır.

Cevap: herhangi bir sayı.

Örnek 11. eşitsizliği çöz

. (15)

Çözüm. Teorem 1'i eşitsizliğin sol tarafına uygulamak (15), alırız . Buradan ve eşitsizlikten (15) denklemi takip eder, hangisi gibi görünüyor.

Teorem 3'e göre, denklem eşitsizliğine eşittir. Buradan alıyoruz.

Örnek 12.eşitsizliği çöz

. (16)

Çözüm. Eşitsizlikten (16), Teorem 4'e göre eşitsizlikler sistemini elde ederiz.

eşitsizliği çözerkenTeorem 6'yı kullanıyoruz ve eşitsizlikler sistemini elde ediyoruzaşağıdakilerden.

eşitsizliği düşünün. Teorem 7'ye göre, eşitsizlikler kümesi elde ederiz. ve . İkinci nüfus eşitsizliği herhangi bir gerçek için geçerlidir..

Sonuç olarak , eşitsizliğin çözümü (16).

Örnek 13eşitsizliği çöz

. (17)

Çözüm. Teorem 1'e göre yazabiliriz.

(18)

Eşitsizliği (17) hesaba katarak, her iki eşitsizliğin de (18) eşitliğe dönüştüğü sonucuna varıyoruz, yani. bir denklem sistemi var

Teorem 3'e göre, bu denklem sistemi eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir.

veya

Örnek 14eşitsizliği çöz

. (19)

Çözüm. O zamandan beri . Eşitsizliğin (19) her iki bölümünü de herhangi bir değer için yalnızca pozitif değerler alan ifadeyle çarpalım. Daha sonra, şu şekildeki eşitsizliğe (19) eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

Buradan veya nereden alıyoruz. beri ve o zaman eşitsizliğin çözümleri (19) ve .

Cevap: , .

Modül ile eşitsizlikleri çözme yöntemleri hakkında daha derin bir çalışma için öğreticilere başvurmanız önerilir., önerilen okumalar listesinde listelenmiştir.

1. Teknik üniversitelere başvuranlar için matematikteki görevlerin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. - M.: Dünya ve Eğitim, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: eşitsizlikleri çözme ve kanıtlama yöntemleri. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 s.

3. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: problem çözmek için standart olmayan yöntemler. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.

Sormak istediğiniz bir şey var mı?

Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bugün arkadaşlar sümük ve duygusallık olmayacak. Bunun yerine, sizi 8-9. sınıf cebir kursundaki en zorlu rakiplerden biriyle başka soru sormadan savaşa göndereceğim.

Evet, her şeyi doğru anladınız: Modüllü eşitsizliklerden bahsediyoruz. Bu problemlerin yaklaşık %90'ını çözmeyi öğreneceğiniz dört temel tekniğe bakacağız. Peki ya diğer %10? Eh, onları ayrı bir derste konuşacağız. :)

Ancak, buradaki herhangi bir numarayı analiz etmeden önce, zaten bilmeniz gereken iki gerçeği hatırlamak istiyorum. Aksi takdirde, bugünün dersinin materyalini hiç anlamama riskiniz vardır.

Zaten bilmeniz gerekenler

Kaptan Kanıt, olduğu gibi, eşitsizlikleri bir modül ile çözmek için iki şeyi bilmeniz gerektiğini ima ediyor:

1. Eşitsizlikler nasıl çözülür?
2. Modül nedir.

İkinci nokta ile başlayalım.

Modül Tanımı

Burada her şey basit. İki tanım vardır: cebirsel ve grafik. Cebirle başlayalım:

Tanım. $x$ sayısının modülü, negatif değilse ya sayının kendisidir, ya da orijinal $x$ hala negatifse onun karşısındaki sayıdır.

Şu şekilde yazılmıştır:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(hizalama) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(hizalama) \sağ.\]

Basit bir ifadeyle, modül "eksi olmayan bir sayıdır". Ve bu dualitede (bir yerde orijinal sayı ile hiçbir şey yapmanıza gerek yok, ancak bir yerde orada bazı eksileri kaldırmanız gerekiyor) ve acemi öğrenciler için tüm zorluk yatıyor.

Geometrik bir tanım da vardır. Bunu bilmek de yararlıdır, ancak buna yalnızca geometrik yaklaşımın cebirsel yaklaşımdan daha uygun olduğu karmaşık ve bazı özel durumlarda değineceğiz (spoiler: bugün değil).

Tanım. $a$ noktası gerçek doğru üzerinde işaretlensin. Sonra modül $\left| x-a \right|$ bu doğru üzerindeki $x$ noktasından $a$ noktasına olan uzaklıktır.

Bir resim çizerseniz, şöyle bir şey elde edersiniz:

Grafik modül tanımı

Öyle ya da böyle, anahtar özelliği modülün tanımından hemen sonra gelir: bir sayının modülü her zaman negatif olmayan bir değerdir. Bu gerçek, bugün tüm hikayemiz boyunca uzanan kırmızı bir iplik olacak.

Eşitsizliklerin çözümü. Aralık Yöntemi

Şimdi eşitsizliklerle ilgilenelim. Birçoğu var, ancak şimdi görevimiz en azından en basitini çözebilmek. Doğrusal eşitsizliklere ve aralık yöntemine indirgenenler.

Bu konuda iki büyük dersim var (bu arada, çok, ÇOK faydalı - çalışmanızı tavsiye ederim):

1. Eşitsizlikler için aralık yöntemi (özellikle videoyu izleyin);
2. Kesirli-rasyonel eşitsizlikler çok hacimli bir derstir, ancak ondan sonra hiç sorunuz kalmayacak.

Tüm bunları biliyorsanız, "eşitsizlikten denkleme geçelim" ifadesi sizi belli belirsiz duvara karşı öldürme isteği uyandırmıyorsa, o zaman hazırsınız: dersin ana konusuna cehenneme hoş geldiniz. :)

1. "Modül fonksiyondan daha az" biçimindeki eşitsizlikler

Bu, modüllerle en sık karşılaşılan görevlerden biridir. Formun bir eşitsizliğini çözmek için gereklidir:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

Her şey $f$ ve $g$ fonksiyonları gibi davranabilir, ancak bunlar genellikle polinomlardır. Bu tür eşitsizliklere örnekler:

\[\başlangıç(hizalama) & \sol| 2x+3\sağ| \ltx+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\sol| x \sağ|-3 \sağ| \lt 2. \\\end(hizalama)\]

Hepsi şemaya göre tam anlamıyla tek bir satırda çözülür:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(hiza) \doğru doğru)\]

Modülden kurtulduğumuzu görmek kolaydır, ancak bunun yerine bir çift eşitsizlik (veya aynı olan iki eşitsizlikten oluşan bir sistem) elde ederiz. Ancak bu geçiş, olası tüm sorunları kesinlikle hesaba katar: modülün altındaki sayı pozitifse, yöntem işe yarar; negatifse, yine de çalışır; ve $f$ veya $g$ yerine en yetersiz işlevle bile, yöntem çalışmaya devam edecektir.

Doğal olarak, soru ortaya çıkıyor: daha kolay değil mi? Maalesef yapamazsınız. Modülün bütün amacı bu.

Ama felsefe yapma yeter. Birkaç sorunu çözelim:

Bir görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 2x+3\sağ| \ltx+7\]

Çözüm. Yani, "modül küçüktür" biçiminde klasik bir eşitsizliğimiz var - dönüştürülecek hiçbir şey bile yok. Algoritmaya göre çalışıyoruz:

\[\başlangıç(hizalama) & \sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3\sağ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \sağ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(hiza)\]

Önünde "eksi" bulunan parantezleri açmak için acele etmeyin: aceleniz nedeniyle saldırgan bir hata yapmanız oldukça olasıdır.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(hizalama) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizalama) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizalama) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

Problem iki temel eşitsizliğe indirgenmiştir. Çözümlerini paralel gerçek çizgiler üzerinde not ediyoruz:

birçok kavşak

Bu kümelerin kesişimi cevap olacaktır.

Cevap: $x\in \sol(-\frac(10)(3));4 \sağ)$

Bir görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0\]

Çözüm. Bu görev biraz daha zor. Başlangıç ​​olarak, ikinci terimi sağa kaydırarak modülü izole ediyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Açıkçası, yine “modül daha azdır” biçiminde bir eşitsizlikle karşı karşıyayız, bu yüzden zaten bilinen algoritmaya göre modülden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \sağ)\]

Şimdi dikkat: Biri tüm bu parantezlerle biraz sapık olduğumu söyleyecek. Ama bir kez daha hatırlatırım ki asıl hedefimiz eşitsizliği doğru çöz ve cevabı al. Daha sonra, bu derste anlatılan her şeye mükemmel bir şekilde hakim olduğunuzda, kendinizi istediğiniz gibi saptırabilirsiniz: parantezleri açın, eksiler ekleyin, vb.

Ve yeni başlayanlar için, soldaki çift eksiden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \sağ) \sağ)=\left(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \left(x+1 \sağ) =3\sol(x+1\sağ)\]

Şimdi çift eşitsizlikteki tüm parantezleri açalım:

Çift eşitsizliğe geçelim. Bu sefer hesaplamalar daha ciddi olacak:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizala)\sağ.\]

Her iki eşitsizlik de karedir ve aralık yöntemiyle çözülür (bu yüzden diyorum ki: ne olduğunu bilmiyorsanız, henüz modülleri almamak daha iyidir). Birinci eşitsizlikteki denkleme geçiyoruz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sol(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(hiza)\]

Gördüğünüz gibi, çıktı, temel olarak çözülen tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem olduğu ortaya çıktı. Şimdi sistemin ikinci eşitsizliği ile ilgilenelim. Orada Vieta teoremini uygulamanız gerekiyor:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sol(x-3 \sağ)\sol(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(hiza)\]

Elde edilen sayıları iki paralel çizgi üzerinde işaretleriz (birinci eşitsizlik için ayrı ve ikincisi için ayrı):

Yine, bir eşitsizlikler sistemini çözdüğümüz için, gölgeli kümelerin kesişimiyle ilgileniyoruz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Cevap bu.

Cevap: $x\in \sol(-5;-2 \sağ)$

Bu örneklerden sonra çözüm şemasının çok açık olduğunu düşünüyorum:

1. Diğer tüm terimleri eşitsizliğin karşı tarafına taşıyarak modülü yalıtın. Böylece $\left| biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. f\sağ| \ltg$.
2. Bu eşitsizliği yukarıda anlatıldığı gibi modülden kurtularak çözün. Bir noktada, ikili eşitsizlikten, her biri ayrı ayrı çözülebilen iki bağımsız ifade sistemine geçmek gerekecektir.
3. Son olarak, sadece bu iki bağımsız ifadenin çözümlerini geçmek için kalır - ve bu kadar, nihai cevabı alacağız.

Modül, fonksiyondan büyük olduğunda, aşağıdaki türden eşitsizlikler için benzer bir algoritma mevcuttur. Ancak, birkaç ciddi "ama" var. Şimdi bu “ama”lardan bahsedeceğiz.

2. "Modül fonksiyondan büyüktür" biçimindeki eşitsizlikler

Şuna benziyorlar:

\[\sol| f\sağ| \gitmeliyim\]

Bir öncekine benzer mi? Anlaşılan. Bununla birlikte, bu tür görevler tamamen farklı bir şekilde çözülür. Resmi olarak, şema aşağıdaki gibidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(hizalama) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(hizalama) \sağ.\]

Başka bir deyişle, iki durumu ele alıyoruz:

1. İlk olarak, modülü yok sayarız - olağan eşitsizliği çözeriz;
2. Sonra aslında eksi işaretli modülü açıyoruz ve sonra eşitsizliğin her iki kısmını da -1 ile bir işaretle çarpıyoruz.

Bu durumda seçenekler köşeli parantez ile birleştirilir, yani. İki gereksinimin bir kombinasyonuna sahibiz.

Tekrar dikkat edin: önümüzde bir sistem değil, bir bütündür, bu nedenle cevapta kümeler birleştirilir, kesişmez. Bu, önceki paragraftan temel bir farktır!

Genel olarak, birçok öğrencinin birlikler ve kesişimlerle ilgili kafaları çok karışıktır, bu yüzden bu konuyu bir kez ve herkes için inceleyelim:

• "∪" bir bitiştirme işaretidir. Aslında, bu bize İngilizceden gelen ve "Birlik" in kısaltması olan stilize bir "U" harfidir, yani. "Dernekler".
• "∩" kavşak işaretidir. Bu saçmalık herhangi bir yerden gelmedi, sadece "∪" nin karşıtı olarak ortaya çıktı.

Hatırlamayı daha da kolaylaştırmak için, gözlük yapmak için bu işaretlere sadece bacaklar ekleyin (sadece şimdi beni uyuşturucu bağımlılığı ve alkolizmi teşvik etmekle suçlamayın: bu dersi ciddi olarak okuyorsanız, o zaman zaten bir uyuşturucu bağımlısısınız):

Kümelerin kesişimi ve birleşimi arasındaki fark

Rusçaya çevrildiğinde, bu şu anlama gelir: birlik (koleksiyon) her iki kümeden de öğeler içerir, bu nedenle her birinden daha az değildir; ancak kesişim (sistem) yalnızca hem birinci kümede hem de ikinci kümede bulunan öğeleri içerir. Bu nedenle, kümelerin kesişimi hiçbir zaman kaynak kümelerinden daha büyük değildir.

Yani daha netleşti mi? Bu harika. Haydi uygulamaya geçelim.

Bir görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Çözüm. Şemaya göre hareket ediyoruz:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Sağ.\]

Her bir nüfus eşitsizliğini çözüyoruz:

\[\left[ \begin(hizalama) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left[ \begin(hizalama) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left[ \begin(hizalama) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

Elde edilen her kümeyi sayı doğrusunda işaretler ve ardından bunları birleştiririz:

kümelerin birliği

Açıkçası, cevap $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ şeklindedir.

Cevap: $x\in \sol(\frac(4)(7);+\infty \sağ)$

Bir görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gtx\]

Çözüm. Peki? Hayır, hepsi aynı. Modüllü bir eşitsizlikten iki eşitsizlik kümesine geçiyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(hiza) \sağ.\]

Her eşitsizliği çözüyoruz. Ne yazık ki, kökler orada çok iyi olmayacak:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(hiza)\]

İkinci eşitsizlikte de biraz oyun var:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(hiza)\]

Şimdi bu sayıları iki eksende işaretlememiz gerekiyor - her eşitsizlik için bir eksen. Ancak, noktaları doğru sırada işaretlemeniz gerekir: sayı ne kadar büyükse, nokta o kadar sağa kayar.

Ve burada bir kurulum için bekliyoruz. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (birinci sayının payındaki terimler) sayılarıyla her şey açıksa kesir saniyenin payındaki terimlerden daha küçüktür, bu nedenle toplam da daha küçüktür), sayılar $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21)(2)$ da zorluk olmayacak (pozitif bir sayı açıkça daha negatif), ancak son çiftle her şey o kadar basit değil. Hangisi daha büyük: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ veya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Sayı doğrusundaki noktaların düzenlenmesi ve aslında cevap, bu sorunun cevabına bağlı olacaktır.

Öyleyse karşılaştıralım:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Kökü izole ettik, eşitsizliğin her iki tarafında da negatif olmayan sayılar elde ettik, böylece her iki tarafı da kareleme hakkına sahibiz:

\[\begin(matris) ((\sol(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\sol(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Bence $4\sqrt(13) \gt 3$, yani $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, son olarak eksenlerdeki noktalar şu şekilde düzenlenecektir:

Çirkin kök vakası

Size bir küme çözdüğümüzü hatırlatmama izin verin, bu nedenle cevap gölgeli kümelerin kesişimi değil birleşimi olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \sağ)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\sağ)$

Gördüğünüz gibi, şemamız hem basit görevler için hem de çok zor görevler için harika çalışıyor. Bu yaklaşımdaki tek "zayıf nokta", irrasyonel sayıları doğru bir şekilde karşılaştırmanız gerektiğidir (ve inanın bana: bunlar sadece kökler değildir). Ancak karşılaştırma sorularına ayrı (ve çok ciddi bir ders) ayrılacaktır. Ve devam ediyoruz.

3. Negatif olmayan "kuyrukları" olan eşitsizlikler

Böylece en ilginç olana geldik. Bunlar formun eşitsizlikleridir:

\[\sol| f\sağ| \gt\sol| g\sağ|\]

Genel olarak konuşursak, şimdi bahsedeceğimiz algoritma sadece modül için geçerlidir. Solda ve sağda garantili negatif olmayan ifadelerin olduğu tüm eşitsizliklerde çalışır:

Bu görevlerle ne yapmalı? Sadece hatırlıyorum:

Negatif olmayan kuyruklu eşitsizliklerde, her iki taraf da herhangi bir doğal güce yükseltilebilir. Ek kısıtlama olmayacak.

Her şeyden önce, kare almayla ilgileneceğiz - modülleri ve kökleri yakar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\sol(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\\end(hiza)\]

Bunu karenin kökünü almakla karıştırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \sağ|\ne f\]

Bir öğrenci modül kurmayı unuttuğunda sayısız hata yapıldı! Ancak bu tamamen farklı bir hikaye (bunlar olduğu gibi irrasyonel denklemlerdir), bu yüzden şimdi buna girmeyeceğiz. Birkaç sorunu daha iyi çözelim:

Bir görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Çözüm. Hemen iki şeyi fark ederiz:

1. Bu katı olmayan bir eşitsizliktir. Sayı doğrusundaki noktalar delinecektir.
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da açıkça negatif değildir (bu, modülün bir özelliğidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Bu nedenle, modülden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alabilir ve normal aralık yöntemini kullanarak sorunu çözebiliriz:

\[\begin(hizalama) & ((\sol(\sol| x+2 \sağ| \sağ))^(2))\ge ((\sol(\sol| 1-2x \sağ| \sağ) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2)). \\\end(hiza)\]

Son adımda biraz hile yaptım: Modülün paritesini kullanarak terimlerin sırasını değiştirdim (aslında 1-2x$ ifadesini -1 ile çarptım).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \sağ)-\left(x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\left(2x-1 \sağ)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \sağ)\cdot \left(3x+1 \sağ)\le 0. \\\end(hiza)\]

Aralık yöntemiyle çözüyoruz. Eşitsizlikten denkleme geçelim:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(hiza)\]

Bulunan kökleri sayı doğrusunda işaretliyoruz. Bir kez daha: orijinal eşitsizlik katı olmadığı için tüm noktalar gölgeli!

Modül işaretinden kurtulmak

Özellikle inatçı olanlar için hatırlatmama izin verin: denkleme geçmeden önce yazılan son eşitsizliğin işaretlerini alıyoruz. Ve aynı eşitsizlikte gerekli alanları boyarız. Bizim durumumuzda, bu $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$'dır.

Tamam şimdi her şey bitti. Sorun çözüldü.

Cevap: $x\in \sol[ -\frac(1)(3);3 \sağ]$.

Bir görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \sağ|\le \sol| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Çözüm. Her şeyi aynı yapıyoruz. Yorum yapmayacağım - sadece eylem sırasına bakın.

karesini alalım:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\sol(((x)^(2))+3x+4 \ sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \sol(-2x-3 \sağ)\sol(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(hiza)\]

Aralık yöntemi:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \sağ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ok x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(hiza)\]

Sayı doğrusunda sadece bir kök vardır:

Cevap bütün bir aralıktır

Cevap: $x\in \sol[ -1.5;+\infty \sağ)$.

Son görev hakkında küçük bir not. Öğrencilerimden birinin doğru bir şekilde belirttiği gibi, bu eşitsizlikteki her iki alt modül ifadesi de açıkça pozitiftir, bu nedenle modül işareti sağlığa zarar vermeden çıkarılabilir.

Ancak bu zaten tamamen farklı bir düşünme düzeyi ve farklı bir yaklaşımdır - şartlı olarak sonuç yöntemi olarak adlandırılabilir. Onun hakkında - ayrı bir derste. Şimdi bugünkü dersin son kısmına geçelim ve her zaman işe yarayan evrensel bir algoritmayı ele alalım. Önceki tüm yaklaşımlar güçsüzken bile. :)

4. Seçeneklerin numaralandırılması yöntemi

Ya tüm bu hileler işe yaramazsa? Eğer eşitsizlik negatif olmayan kuyruklara indirgenmiyorsa, modülü izole etmek mümkün değilse, hiç acı-üzüntü-özlem varsa?

Sonra tüm matematiğin “ağır topçusu” sahneye girer - numaralandırma yöntemi. Modül ile eşitsizliklerle ilgili olarak, şöyle görünür:

1. Tüm alt modül ifadelerini yazın ve sıfıra eşitleyin;
2. Ortaya çıkan denklemleri çözün ve bulunan kökleri bir sayı doğrusu üzerinde işaretleyin;
3. Düz çizgi, her modülün sabit bir işareti olduğu ve bu nedenle açık bir şekilde genişlediği birkaç bölüme ayrılacaktır;
4. Bu tür bölümlerin her birinde eşitsizliği çözün (güvenilirlik için paragraf 2'de elde edilen sınır köklerini ayrı ayrı düşünebilirsiniz). Sonuçları birleştirin - cevap bu olacak. :)

Peki, nasıl? Güçsüz? Kolayca! Sadece uzun bir süre için. Pratikte görelim:

Bir görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt\sol| x-1 \sağ|+x-\frac(3)(2)\]

Çözüm. Bu saçmalık $\left| gibi eşitsizliklere dayanmıyor. f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ veya $\left| f\sağ| \lt\sol| g \right|$, hadi devam edelim.

Alt modül ifadelerini yazıyoruz, onları sıfıra eşitliyoruz ve kökleri buluyoruz:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(hiza)\]

Toplamda, sayı doğrusunu her modülün benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı üç bölüme ayıran iki kökümüz var:

Sayı doğrusunu alt modüler fonksiyonların sıfırlarına bölme

Her bölümü ayrı ayrı ele alalım.

1. $x \lt -2$ olsun. Daha sonra her iki alt modül ifadesi de negatiftir ve orijinal eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılır:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(hizalama)\]

Oldukça basit bir kısıtlamamız var. Bunu $x \lt -2$ şeklindeki orijinal varsayımla keselim:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Açıkçası, $x$ değişkeni aynı anda -2'den küçük, ancak 1.5'ten büyük olamaz. Bu alanda çözüm yok.

1.1. Sınır durumunu ayrı ayrı ele alalım: $x=-2$. Bu sayıyı orijinal eşitsizliğin yerine koyalım ve kontrol edelim: Tutar mı?

\[\begin(hizalama) & ((\sol. \sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-1,5 \sağ|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \sol| -3 \sağ|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(hiza)\]

Açıkçası, hesaplamalar zinciri bizi yanlış eşitsizliğe götürdü. Bu nedenle, orijinal eşitsizlik de yanlıştır ve cevaba $x=-2$ dahil değildir.

2. Şimdi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Soldaki modül zaten bir "artı" ile açılacak, ancak sağdaki hala "eksi" ile açılacak. Sahibiz:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(hizalama)\]

Yine orijinal gereksinimle kesişiyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ve yine, hem −2,5'ten küçük hem de −2'den büyük hiçbir sayı olmadığından, boş çözümler kümesi.

2.1. Ve yine özel bir durum: $x=1$. Orijinal eşitsizliği yerine koyarız:

\[\begin(hizalama) & ((\sol. \sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-1,5 \sağ|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt\sol| 0 \sağ|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(hiza)\]

Önceki "özel duruma" benzer şekilde, $x=1$ sayısı açıkça cevaba dahil edilmemiştir.

3. Satırın son parçası: $x \gt 1$. Burada tüm modüller bir artı işaretiyle genişletilir:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Ve yine bulunan kümeyi orijinal kısıtlama ile keseriz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \Sağ)\]

Nihayet! Cevap olacak aralığı bulduk.

Cevap: $x\in \sol(4,5;+\infty \sağ)$

Son olarak, gerçek sorunları çözerken sizi aptalca hatalardan kurtarabilecek bir not:

Modüllerle eşitsizliklerin çözümleri genellikle sayı doğrusunda - aralıklarda ve segmentlerde sürekli kümelerdir. İzole noktalar çok daha nadirdir. Ve daha da nadiren, çözümün sınırlarının (segmentin sonu) söz konusu aralığın sınırıyla çakışması olur.

Sonuç olarak, sınırlar (aynı “özel durumlar”) cevaba dahil edilmezse, bu sınırların sol-sağındaki alanlar da neredeyse kesinlikle cevaba dahil edilmeyecektir. Ve tam tersi: sınıra yanıt olarak girilir, bu da çevresindeki bazı alanların da yanıt olacağı anlamına gelir.

Çözümlerinizi kontrol ederken bunu aklınızda bulundurun.

Modüllerle eşitsizlikleri açma yöntemleri (kuralları), alt modül fonksiyonlarının sabit işaretli aralıklarını kullanırken modüllerin sıralı genişlemesinden oluşur. Son versiyonda, problemin koşulunu sağlayan aralıkları veya aralıkları buldukları birkaç eşitsizlik elde edilir.

Pratikte yaygın olan örnekleri çözmeye devam edelim.

Modüllerle doğrusal eşitsizlikler

Lineer derken, değişkenin denkleme lineer olarak girdiği denklemleri kastediyoruz.

Örnek 1. Bir eşitsizliğin çözümünü bulun

Çözüm:
Modüllerin x=-1 ve x=-2'de sıfıra dönüştüğü problemin koşulundan çıkar. Bu noktalar sayısal ekseni aralıklara böler.

Bu aralıkların her birinde verilen eşitsizliği çözüyoruz. Bunu yapmak için, her şeyden önce, alt modüler fonksiyonların sabit işaretli alanlarının grafik çizimlerini çiziyoruz. Her bir işlevin işaretleri olan alanlar olarak tasvir edilirler.

veya tüm fonksiyonların işaretleri olan aralıklar.

İlk aralıkta modülleri açın

Her iki parçayı da eksi bir ile çarpıyoruz, eşitsizlikteki işaret ise tam tersi olacak. Bu kurala alışmanız zorsa, eksiden kurtulmak için her bir parçayı işaretin ötesine taşıyabilirsiniz. Sonunda, alacaksınız

x>-3 kümesinin denklemlerin çözüldüğü alanla kesişimi (-3;-2) aralığı olacaktır. Grafiksel olarak çözüm aramayı daha kolay bulanlar için bu alanların kesişimini çizebilirsiniz.

Alanların genel kesişimi çözüm olacaktır. Kesin düzensizlik ile kenarlar dahil değildir. Kesin olmayan ise ikame ile kontrol edilir.

İkinci aralıkta, elde ederiz

Bölüm (-2; -5/3) aralığı olacaktır. Grafiksel olarak, çözüm şöyle görünecek

Üçüncü aralıkta, elde ederiz

Bu durum istenilen alanda çözüm vermemektedir.

Bulunan iki çözüm (-3;-2) ve (-2;-5/3) x=-2 noktasını sınırladığı için onu da kontrol ediyoruz.

Böylece x=-2 noktası çözümdür. Bunu göz önünde bulundurarak genel çözüm (-3;5/3) gibi görünecektir.

Örnek 2. Eşitsizliğe bir çözüm bulun
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Çözüm:
Alt modül fonksiyonlarının sıfırları x=2, x=3, x=4 noktaları olacaktır. Argümanların değerleri bu noktalardan küçük olduğunda alt modül fonksiyonları negatif, değerler büyük olduğunda ise pozitiftir.

Noktalar gerçek ekseni dört aralığa böler. Modülleri işaretin sabitlik aralıklarına göre açıp eşitsizlikleri çözüyoruz.

1) İlk aralıkta, tüm alt modüler fonksiyonlar negatiftir, bu nedenle modülleri genişletirken işareti tersine değiştiririz.

Bulunan x değerlerinin dikkate alınan aralıkla kesişimi nokta kümesi olacaktır.

2) x=2 ve x=3 noktaları arasındaki aralıkta, birinci alt modül fonksiyonu pozitif, ikinci ve üçüncü ise negatiftir. Modülleri genişleterek, elde ederiz

çözdüğümüz aralıkla kesişerek tek bir çözüm veren bir eşitsizlik - x=3.

3) x=3 ve x=4 noktaları arasındaki aralıkta birinci ve ikinci alt modül fonksiyonları pozitif, üçüncüsü ise negatiftir. Buna dayanarak, elde ederiz

Bu koşul, tüm aralığın modüllerle eşitsizliği sağlayacağını gösterir.

4) x>4 değerleri için tüm fonksiyonlar işaret pozitiftir. Modülleri genişletirken işaretlerini değiştirmiyoruz.

Aralığın kesişme noktasında bulunan koşul, aşağıdaki çözüm kümesini verir.

Eşitsizlik tüm aralıklarda çözüldüğü için, bulunan tüm x değerlerinin ortak değerini bulmak kalır. Çözüm iki aralıktır

Bu örnek çözüldü.

Örnek 3. Eşitsizliğe bir çözüm bulun
||x-1|-5|>3-2x

Çözüm:
Bir modülden bir modül ile bir eşitsizliğimiz var. Bu tür eşitsizlikler, daha derine yerleştirilenlerden başlayarak modüller iç içe girdikçe ortaya çıkar.

Alt modül fonksiyonu x-1, x=1 noktasında sıfıra dönüştürülür. 1'in üzerindeki daha küçük değerler için x>1 için negatif ve pozitiftir. Buna dayanarak, iç modülü açıyoruz ve her bir aralıktaki eşitsizliği dikkate alıyoruz.

İlk önce eksi sonsuzdan bire olan aralığı düşünün

Alt modül fonksiyonu x=-4 noktasında sıfırdır. Daha küçük değerler için pozitif, daha büyük değerler için negatiftir. Modülü x için genişletin<-4:

Üzerinde düşündüğümüz alanla kesişme noktasında bir dizi çözüm elde ederiz.

Bir sonraki adım, modülü (-4; 1) aralığında genişletmektir.

Modülün genişleme alanını dikkate alarak çözüm aralığını elde ederiz.

UNUTMAYIN: Modüllerle bu tür düzensizliklerde ortak bir noktayı sınırlayan iki aralık alırsanız, o zaman kural olarak bu da bir çözümdür.

Bunu yapmak için kontrol etmeniz yeterlidir.

Bu durumda, x=-4 noktasını değiştiririz.

Yani çözüm x=-4'tür.
x>1 için iç modülü genişletin

Alt modül işlevi x için negatif<6.
Modülü genişleterek, elde ederiz

(1;6) aralıklı bölümdeki bu koşul, boş bir çözüm kümesi verir.

x>6 için eşitsizliği elde ederiz

Ayrıca çözerken boş bir kümemiz var.
Yukarıdakilerin tümü göz önüne alındığında, modüllerle eşitsizliğin tek çözümü aşağıdaki aralık olacaktır.

İkinci dereceden denklemler içeren modüllerle eşitsizlikler

Örnek 4. Eşitsizliğe bir çözüm bulun
|x^2+3x|>=2-x^2

Çözüm:
Alt modül fonksiyonu x=0, x=-3 noktalarında kaybolur. Basit ikame ile eksi bir

(-3; 0) aralığında sıfırdan küçük ve ötesinde pozitif olduğunu belirledik.
Modülü, alt modül fonksiyonunun pozitif olduğu alanlarda genişletin

Geriye kare fonksiyonunun pozitif olduğu alanları belirlemek kalıyor. Bunu yapmak için ikinci dereceden denklemin köklerini belirleriz.

Kolaylık olması için (-2;1/2) aralığına ait olan x=0 noktasını değiştiriyoruz. Bu aralıkta fonksiyon negatiftir, dolayısıyla çözüm aşağıdaki x kümeleri olacaktır.

Burada köşeli parantezler çözümlü alanların kenarlarını göstermektedir; bu, aşağıdaki kural dikkate alınarak kasıtlı olarak yapılmıştır.

UNUTMAYIN: Modüllerle eşitsizlik veya basit bir eşitsizlik katı ise, bulunan alanların kenarları çözüm değildir, ancak eşitsizlikler katı değilse (), o zaman kenarlar çözümdür (köşeli parantez ile gösterilir).

Bu kural birçok öğretmen tarafından kullanılmaktadır: Kesin bir eşitsizlik verilirse ve hesaplamalar sırasında çözüme bir köşeli parantez ([,]) yazarsanız, bunu otomatik olarak yanlış bir cevap olarak kabul ederler. Ayrıca, test ederken, modüllerle katı olmayan bir eşitsizlik belirtilirse, çözümler arasında köşeli parantezli alanlar arayın.

(-3; 0) aralığında, modülü genişleterek, fonksiyonun işaretini tersine değiştiririz

Eşitsizlik açıklamasının kapsamı dikkate alındığında, çözüm şu şekilde olacaktır:

Önceki alanla birlikte bu, iki yarım aralık verecektir.

Örnek 5. Eşitsizliğe bir çözüm bulun
9x^2-|x-3|>=9x-2

Çözüm:
x=3 noktasında alt modül fonksiyonu sıfıra eşit olan katı olmayan bir eşitsizlik verilmiştir. Daha küçük değerlerde negatif, daha büyük değerlerde ise pozitiftir. Modülü x aralığında genişletiyoruz<3.

Denklemin diskriminantını bulma

ve kökler

Sıfır noktasını değiştirerek, [-1/9; 1] aralığında ikinci dereceden fonksiyonun negatif olduğunu, dolayısıyla aralığın bir çözüm olduğunu öğrendik. Ardından, x>3 için modülü açın

modül numarası negatif değilse bu sayının kendisine, negatifse zıt işaretli aynı sayıya denir.

Örneğin, 6'nın modülü 6'dır ve -6'nın modülü de 6'dır.

Yani, bir sayının modülü, mutlak bir değer olarak anlaşılır, bu sayının mutlak değeri, işareti dikkate alınmadan.

Şu şekilde belirtilir: |6|, | X|, |a| vb.

(Daha fazla ayrıntı için, "Sayı Modülü" bölümüne bakın).

Modülo Denklemleri.

örnek 1 . denklemi çözün|10 X - 5| = 15.

Çözüm.

Kurala göre, denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Karar veriyoruz:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Cevap: X 1 = 2, X 2 = -1.

Örnek 2 . denklemi çözün|2 X + 1| = X + 2.

Çözüm.

Modül negatif olmayan bir sayı olduğundan, X+ 2 ≥ 0. Buna göre:

X ≥ -2.

İki denklem yaparız:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Karar veriyoruz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Her iki sayı da -2'den büyüktür. Yani her ikisi de denklemin kökleridir.

Cevap: X 1 = -1, X 2 = 1.

Örnek 3 . denklemi çözün

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Çözüm.

Payda sıfıra eşit değilse denklem anlamlıdır - yani eğer X≠ 1. Bu durumu dikkate alalım. İlk eylemimiz basit - sadece kesirden kurtulmakla kalmıyoruz, aynı zamanda modülü en saf haliyle alacak şekilde dönüştürüyoruz:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Şimdi sadece denklemin sol tarafında modülün altındaki ifadeye sahibiz. Devam et.
Bir sayının modülü negatif olmayan bir sayıdır - yani sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır. Buna göre eşitsizliği çözeriz:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Böylece ikinci bir şartımız var: denklemin kökü en az 3/4 olmalıdır.

Kurala göre, bir dizi iki denklem oluşturup çözüyoruz:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

İki yanıt aldık. Orijinal denklemin kökleri olup olmadıklarını kontrol edelim.

İki koşulumuz vardı: denklemin kökü 1'e eşit olamaz ve en az 3/4 olmalıdır. Yani X ≠ 1, X≥ 3/4. Bu koşulların her ikisi de alınan iki yanıttan yalnızca birine karşılık gelir - 2 sayısı. Dolayısıyla, yalnızca orijinal denklemin köküdür.

Cevap: X = 2.

Modül ile eşitsizlikler.

örnek 1 . eşitsizliği çöz| X - 3| < 4

Çözüm.

Modül kuralı şunları söylüyor:

|a| = a, eğer a ≥ 0.

|a| = -a, eğer a < 0.

Modül, hem negatif olmayan hem de negatif bir sayıya sahip olabilir. Bu yüzden her iki durumu da dikkate almalıyız: X- 3 ≥ 0 ve X - 3 < 0.

1) Ne zaman X- 3 ≥ 0 orijinal eşitsizliğimiz olduğu gibi kalır, sadece modulo işareti olmadan:
X - 3 < 4.

2) Ne zaman X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Parantezleri açarak şunu elde ederiz:

-X + 3 < 4.

Böylece, bu iki koşuldan, iki eşitsizlik sisteminin birliğine ulaştık:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Onları çözelim:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Yani cevabımızda iki kümenin birleşimi var:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

En küçük ve en büyük değerleri belirleyin. Bunlar -1 ve 7'dir. Aynı anda X-1'den büyük ama 7'den küçük.
Ayrıca, X≥ 3. Bu nedenle, eşitsizliğin çözümü, bu uç sayılar hariç, -1'den 7'ye kadar olan tüm sayılar kümesidir.

Cevap: -1 < X < 7.

Veya: X ∈ (-1; 7).

Eklentiler.

1) Eşitsizliğimizi çözmenin daha basit ve daha kısa bir yolu var - grafiksel. Bunu yapmak için yatay bir eksen çizin (Şekil 1).

ifade | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X dört birimden az 3'ü işaret etmek. Eksende 3 rakamını işaretliyoruz ve sağında ve solunda 4'er bölme sayıyoruz. Solda -1 noktasına, sağda 7. noktaya geleceğiz. X biz sadece onları hesaplamadan gördük.

Ayrıca eşitsizlik koşuluna göre, -1 ve 7'nin kendisi çözüm kümesine dahil değildir. Böylece cevabı alırız:

1 < X < 7.

2) Ancak grafiksel yoldan daha basit olan başka bir çözüm daha var. Bunu yapmak için eşitsizliğimiz aşağıdaki biçimde sunulmalıdır:

4 < X - 3 < 4.

Sonuçta, modülün kuralına göre bu böyle. Negatif olmayan 4 sayısı ve benzer negatif sayı -4, eşitsizliğin çözümünün sınırlarıdır.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Örnek 2 . eşitsizliği çöz| X - 2| ≥ 5

Çözüm.

Bu örnek öncekinden önemli ölçüde farklıdır. Sol taraf 5'ten büyük veya 5'e eşittir. Geometrik bir bakış açısından, eşitsizliğin çözümü, 2. noktadan 5 birim veya daha fazla uzaklıkta olan tüm sayılardır (Şekil 2). Grafik, bunların hepsinin -3'ten küçük veya eşit ve 7'den büyük veya eşit olan sayılar olduğunu gösteriyor. Yani, cevabı zaten aldık.

Cevap: -3 ≥ X ≥ 7.

Yol boyunca, aynı eşitsizliği, serbest terimi zıt işaretle sola ve sağa yeniden düzenleyerek çözüyoruz:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Cevap aynı: -3 ≥ X ≥ 7.

Veya: X ∈ [-3; 7]

Örnek çözüldü.

Örnek 3 . eşitsizliği çöz 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Çözüm.

Sayı X pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Bu nedenle, üç durumu da hesaba katmamız gerekiyor. Bildiğiniz gibi, iki eşitsizlikte dikkate alınırlar: X≥ 0 ve X < 0. При X≥ 0, orijinal eşitsizliğimizi sadece modulo işareti olmadan olduğu gibi yeniden yazıyoruz:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Şimdi ikinci durum için: eğer X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Parantezleri genişletmek:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Böylece iki denklem sistemi elde ettik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Sistemlerdeki eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor - bu da iki ikinci dereceden denklemin köklerini bulmamız gerektiği anlamına geliyor. Bunu yapmak için eşitsizliklerin sol taraflarını sıfıra eşitliyoruz.

İlkiyle başlayalım:

6X 2 - X - 2 = 0.

İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür - "İkinci Dereceli Denklem" bölümüne bakın. Cevabı hemen adlandıracağız:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

İlk eşitsizlik sisteminden, orijinal eşitsizliğin çözümünün -1/2'den 2/3'e kadar olan tüm sayılar kümesi olduğunu anlıyoruz. Çözümler birliğini yazıyoruz X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Şimdi ikinci ikinci dereceden denklemi çözelim:

6X 2 + X - 2 = 0.

Kökleri:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Sonuç: ne zaman X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

İki yanıtı birleştirelim ve son yanıtı alalım: çözüm, bu uç sayılar da dahil olmak üzere -2/3'ten 2/3'e kadar olan tüm sayılar kümesidir.

Cevap: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Veya: X ∈ [-2/3; 2/3].