B9 probleminde, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemenin gerekli olduğu bir fonksiyon veya türev grafiği verilmiştir:

1. x 0 noktasındaki türevin değeri,
2. Yüksek veya düşük noktalar (aşırı noktalar),
3. Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları (monotonluk aralıkları).

Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir, bu da çözümü büyük ölçüde basitleştirir. Görevin matematiksel analiz bölümüne ait olmasına rağmen, burada derin bir teorik bilgi gerekmediğinden, en zayıf öğrencilerin bile gücü dahilindedir.

Türev, ekstremum noktaları ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar vardır - hepsi aşağıda tartışılacaktır.

Aptalca hatalar yapmamak için B9 probleminin durumunu dikkatlice okuyun: bazen oldukça hacimli metinler ortaya çıkıyor, ancak çözümün seyrini etkileyen birkaç önemli koşul var.

Türevin değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

Probleme f(x) fonksiyonunun bir grafiği verilirse, bu grafiğe x 0 noktasında teğet olur ve bu noktada türevin değerinin bulunması istenirse, aşağıdaki algoritma uygulanır:

1. Teğet grafiğinde iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1 ; y 1) ve B (x 2 ; y 2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru bir şekilde yazın - bu çözümün kilit noktasıdır ve buradaki herhangi bir hata yanlış cevaba yol açar.
2. Koordinatları bilerek, Δx = x 2 − x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 − y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
3. Son olarak, D = Δy/Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyon artışını argüman artışına bölmeniz gerekir - ve cevap bu olacaktır.

Bir kez daha not edelim: A ve B noktaları, çoğu zaman olduğu gibi, f(x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet üzerinde aranmalıdır. Teğet mutlaka böyle en az iki nokta içerecektir, aksi takdirde problem yanlış formüle edilir.

A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Türevin değerini bulalım: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Bir görev. Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 ile noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

Bir görev. Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 ile noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Son örnekten kuralı formüle edebiliriz: tanjant OX eksenine paralelse, fonksiyonun temas noktasındaki türevi sıfıra eşittir. Bu durumda, hiçbir şey hesaplamanıza bile gerek yok - sadece grafiğe bakın.

Yüksek ve Düşük Puanların Hesaplanması

Bazen B9 probleminde bir fonksiyonun grafiği yerine bir türev grafiği verilir ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunması gerekir. Bu senaryoda, iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha basit bir algoritma daha var. Önce terminolojiyi tanımlayalım:

1. Aşağıdaki eşitsizlik bu noktanın bazı komşuluklarında geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir: f(x 0) ≥ f(x).
2. Aşağıdaki eşitsizlik bu noktanın bazı komşuluklarında geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f(x 0) ≤ f(x).

Türevin grafiğinde maksimum ve minimum noktaları bulmak için aşağıdaki adımların gerçekleştirilmesi yeterlidir:

1. Tüm gereksiz bilgileri kaldırarak türevin grafiğini yeniden çizin. Uygulamanın gösterdiği gibi, ekstra veriler yalnızca çözüme müdahale eder. Bu nedenle, türevin sıfırlarını koordinat ekseninde işaretliyoruz - hepsi bu.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Bir x 0 noktası için f'(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, o zaman sadece iki seçenek mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 veya f'(x 0) ≤ 0. Türevin işareti orijinal çizimden belirlenmesi kolaydır: türev grafiği OX ekseninin üzerindeyse, o zaman f'(x) ≥ 0. Tersine, türev grafiği OX ekseninin altındaysa, o zaman f'(x) ≤ 0.
3. Türevin sıfırlarını ve işaretlerini tekrar kontrol ediyoruz. İşaretin eksiden artıya değiştiği yerde bir minimum nokta vardır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse, bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa yapılır.

Bu şema yalnızca sürekli işlevler için çalışır - B9 sorununda başka yoktur.

Bir görev. Şekil, [−5; segmentinde tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiğini göstermektedir; 5]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım - sadece [-5; 5] ve x = −3 ve x = 2.5 türevinin sıfırları. Ayrıca işaretleri not edin:

Açıktır ki, x = -3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.

Bir görev. Şekil, [−3; 7]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Grafiği yeniden çizelim, sadece [−3; 7] ve x = −1.7 ve x = 5 türevinin sıfırları. Elde edilen grafikte türevin işaretlerini not edin. Sahibiz:

Açıkçası, x = 5 noktasında, türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.

Bir görev. Şekil, [−6; dört]. f(x) fonksiyonunun [−4; 3].

Sorunun koşullarından, grafiğin yalnızca [-4; 3]. Bu nedenle, üzerinde yalnızca [−4; 3] ve içindeki türevin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları elde ederiz:

Bu grafikte sadece bir maksimum nokta vardır x = 2. İçinde türevin işareti artıdan eksiye değişir.

Tamsayı olmayan koordinatlara sahip noktalar hakkında küçük bir not. Örneğin, son problemde x = −3,5 noktası dikkate alındı, ancak aynı başarıyla x = −3.4 alabiliriz. Sorun doğru formüle edilirse, "sabit bir ikamet yeri olmayan" noktalar sorunun çözümünde doğrudan yer almadığından, bu tür değişiklikler cevabı etkilememelidir. Tabii ki, tamsayı noktaları ile böyle bir numara çalışmayacaktır.

Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını bulma

Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktaları gibi, türevin grafiğinden fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı alanların bulunması önerilir. İlk olarak, artan ve azalan ne olduğunu tanımlayalım:

1. Bu segmentten herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için ifade doğruysa, bir segmentte f(x) fonksiyonuna artan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Başka bir deyişle, argümanın değeri ne kadar büyükse, işlevin değeri de o kadar büyük olur.
2. Bu segmentteki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için ifade doğruysa, bir segmentte f(x) fonksiyonuna azalan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Şunlar. bağımsız değişkenin daha büyük bir değeri, işlevin daha küçük bir değerine karşılık gelir.

Artan ve azalan için yeterli koşulları formüle ediyoruz:

1. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun segmentinde artması için segment içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir, yani. f'(x) ≥ 0.
2. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun segmentinde azalması için segment içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f'(x) ≤ 0.

Bu iddiaları kanıtsız kabul ediyoruz. Böylece, birçok yönden ekstremum noktalarını hesaplama algoritmasına benzeyen artış ve azalma aralıklarını bulmak için bir şema elde ederiz:

1. Tüm gereksiz bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde, öncelikle fonksiyonun sıfırları ile ilgileniyoruz, bu yüzden sadece onları bırakıyoruz.
2. Türevin işaretlerini sıfırlar arasındaki aralıklarda işaretleyin. f'(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar ve f'(x) ≤ 0 olduğunda azalır. Sorunun x değişkeni üzerinde kısıtlamaları varsa, bunları ek olarak yeni çizelgede işaretleriz.
3. Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamayı bildiğimize göre, problemde gerekli değeri hesaplamak kalıyor.

Bir görev. Şekil, [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalan aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklarda bulunan tam sayıların toplamını yazınız.

Her zamanki gibi grafiği yeniden çizeriz ve sınırları [−3; 7.5], ayrıca x = −1.5 ve x = 5.3 türevinin sıfırları. Sonra türevin işaretlerini işaretliyoruz. Sahibiz:

(− 1.5) aralığında türev negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Bu aralığın içindeki tüm tam sayıları toplamak için kalır:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Bir görev. Şekil, [−10; dört]. f(x) fonksiyonunun artan aralıklarını bulun. Cevabınıza, en büyüğünün uzunluğunu yazın.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Sadece [-10; 4] ve bu sefer dört olduğu ortaya çıkan türevin sıfırları: x = -8, x = -6, x = -3 ve x = 2. Türevin işaretlerini not edin ve aşağıdaki resmi elde edin:

Artan fonksiyonun aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. burada f'(x) ≥ 0. Grafikte böyle iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Aralıkların en büyüğünün uzunluğunu bulmak gerektiğinden, yanıt olarak l 2 = 5 değerini yazıyoruz.

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları tarafından kapsanan materyali birleştirmek için türevin siteye çözümü. Çevrimiçi problem çözme hizmetimizi kullanırsanız, bir fonksiyonun türevini birkaç saniyede hesaplamak zor değildir. Her üç öğrenciden biri, uygulamalı bir derste kapsamlı bir çalışma için ayrıntılı bir analiz yapabilecektir. Genellikle ülkenin eğitim kurumlarında matematiğin tanıtımı için ilgili bölümün bölümü bize yaklaşır. Bu durumda, kapalı bir sayısal diziler uzayı için çevrimiçi türevin çözümünden bahsetmiyorum bile. Birçok zengin kişinin şaşkınlıklarını ifade etmesine izin verilir. Ama bu arada matematikçiler de hareketsiz durup çok çalışmazlar. Girdi parametrelerindeki doğrusal özelliklere göre değişiklik, esas olarak küplerin azalan konumlarının üstünlüğü nedeniyle türev hesaplayıcı tarafından kabul edilecektir. Sonuç bir yüzey olarak kaçınılmazdır. Başlangıç ​​verisi olarak çevrimiçi türev, gereksiz adımlar atma ihtiyacını ortadan kaldırır. Hayali ev ödevi hariç. Türevleri çevrimiçi çözmenin matematik öğrenmenin gerekli ve önemli bir yönü olduğu gerçeğine ek olarak, öğrenciler genellikle geçmişteki problemleri hatırlamazlar. Öğrenci tembel bir yaratık gibi bunu anlar. Ama öğrenciler komik insanlar! Ya kurallara göre yapın, ya da fonksiyonun eğik bir düzlemde türevi, maddi bir noktaya ivme verebilir. Azalan uzaysal ışının vektörünü bir yere yönlendirelim. İstenilen cevapta, türevi bulmak, matematiksel sistemin kararsızlığı nedeniyle soyut bir teorik yön gibi görünmektedir. Sayıların oranını, kullanılmayan seçenekler dizisi olarak düşünün. İletişim kanalı, küpün kapalı çatallanma noktasından azalan vektör boyunca beşinci çizgi ile dolduruldu. Eğri uzaylar düzleminde, türevi çevrimiçi olarak çözmek, bizi geçen yüzyılda gezegenin en büyük zihinlerini düşündüren bir sonuca götürür. Matematik alanındaki olaylar sırasında, bir değişkenin seçim konumunun iyileştirilmesine katkıda bulunan temel olarak beş önemli faktör, kamuoyunda tartışmaya açıldı. Bu nedenle, puan yasası, çevrimiçi türevin her durumda ayrıntılı olarak hesaplanmadığını, yalnızca sadık bir şekilde ilerlemenin bir istisna olabileceğini söylüyor. Tahmin bizi yeni bir gelişme aşamasına getirdi. Bir sonuca ihtiyacımız var. Yüzeyin altından geçen matematiksel eğim çizgisinde mod türevi hesaplayıcı, büküm kümesindeki ürünlerin kesiştiği alandadır. Geriye epsilon komşuluğuna yakın bağımsız noktasında fonksiyonun farklılaşmasını analiz etmek kalıyor. Bunu pratikte herkes görebilir. Sonuç olarak, programlamanın bir sonraki aşamasında karar verilmesi gereken bir şey olacaktır. Öğrenci, uygulanan hayali çalışmalar ne olursa olsun, her zaman olduğu gibi çevrimiçi türevlere ihtiyaç duyar. Bir sabitle çarpılan türev fonksiyonunun çevrimiçi çözümünün, malzeme noktasının genel hareket yönünü değiştirmediği, ancak düz bir çizgide hızdaki artışı karakterize ettiği ortaya çıktı. Bu anlamda türev hesaplayıcımızı uygulamak ve bir fonksiyonun tüm değerlerini tanım kümesinin tamamı üzerinde hesaplamak faydalı olacaktır. Sadece yerçekimi alanının kuvvet dalgalarını incelemeye gerek yok. Çevrimiçi türev çözümü hiçbir durumda giden ışının eğimini göstermez, ancak yalnızca nadir durumlarda, gerçekten gerekli olduğunda, üniversite öğrencileri bunu hayal edebilir. Müdürü araştırıyoruz. En küçük rotorun değeri tahmin edilebilir. Sonuca, topun tanımlandığı sağa bakan çizgileri uygulayın, ancak çevrimiçi türev hesaplayıcısı, özel kuvvet ve doğrusal olmayan bağımlılık rakamları için temel oluşturur. Matematik proje raporu hazır. Kişisel özellikler, en küçük sayıların farkı ve fonksiyonun y ekseni boyunca türevi, aynı fonksiyonun içbükeyliğini yüksekliğe getirecektir. Bir yön var - bir sonuç var. Teoriyi uygulamaya koymak daha kolaydır. Çalışmanın başlama zamanlaması konusunda öğrencilerden bir öneri var. Bir öğretmenin cevabına ihtiyacım var. Yine bir önceki konumda olduğu gibi, matematiksel sistem türevi bulmaya yardımcı olacak bir eylem bazında düzenlenmemiştir.Alt yarı-doğrusal versiyon gibi, çevrim içi türev de çözümün tanımlamasına göre ayrıntılı olarak belirtecektir. dejenere koşullu yasa. Sadece formülleri hesaplama fikrini ortaya koyun. Bir fonksiyonun lineer türevi, basitçe alakasız pozitif varyasyonları ortaya koyarak çözümün doğruluğunu reddeder. Karşılaştırma işaretlerinin önemi, fonksiyonun eksen boyunca sürekli bir kırılması olarak kabul edilecektir. Öğrenciye göre, çevrimiçi türevin sadık bir matematiksel analiz örneğinden başka bir şey olduğu en bilinçli sonucun önemi budur. Öklid uzayında eğri bir dairenin yarıçapı, tersine, türev hesaplayıcısına kararlılık için belirleyici problemlerin değişiminin doğal bir temsilini verdi. En iyi yöntem bulundu. Görevin seviyesini yükseltmek daha kolaydı. Bağımsız fark oranının uygulanabilirliği türevlerin çevrimiçi çözümüne yol açsın. Çözüm, bir daire şeklini tanımlayan x ekseni etrafında döner. Bir çıkış yolu var ve herkesin öğrendiği, üniversite öğrencileri tarafından teorik olarak desteklenen araştırmalara dayanıyor ve zamanın o anlarında bile işlevin bir türevi var. İlerleme için bir yol bulduk ve öğrenciler bunu onayladı. Matematiksel sistemi dönüştürmek için doğal olmayan bir yaklaşımın ötesine geçmeden türevi bulmayı göze alabiliriz. Sol orantı işareti, sonsuz y ekseni üzerindeki doğrusal çarpanların bilinmeyen durumu nedeniyle çevrimiçi türev hesaplayıcısının matematiksel temsili olarak üstel olarak büyür. Dünyanın her yerindeki matematikçiler, üretim sürecinin münhasırlığını kanıtladılar. Teorinin açıklamasına göre bir dairenin içinde en küçük kare vardır. Yine, çevrimiçi türev, ilk etapta teorik olarak rafine edilmiş görüşü neyin etkilemiş olabileceğine dair tahminimizi detaylandıracaktır. İncelediğimiz rapordan farklı nitelikte görüşler vardı. Fakültelerimizin öğrencilerine ayrı bir ilgi gösterilmeyebilir, ancak sadece bir fonksiyonun farklılaşmasının sadece bir bahane olduğu akıllı ve ileri matematikçilere değil. Türevin mekanik anlamı çok basittir. Kaldırma kuvveti, zaman içinde aşağı doğru eğimli sabit uzaylar için çevrimiçi bir türev olarak hesaplanır. Açıktır ki, türev hesaplayıcısı, amorf bir cisim olarak yapay bir dönüşümün yozlaşması sorununu tanımlamanın titiz bir sürecidir. Birinci türev, maddi bir noktanın hareketindeki bir değişiklikten bahseder. Üç boyutlu uzay, çevrimiçi türevleri çözmek için özel olarak eğitilmiş teknolojiler bağlamında açıkça gözlemlenir, aslında matematik disiplini konusundaki her kolokyumdadır. İkinci türev, bir malzeme noktasının hızındaki değişimi karakterize eder ve ivmeyi belirler. Bir afin dönüşümün kullanımına dayanan meridyen yaklaşımı, bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bu fonksiyonun tanım alanından yeni bir düzeye taşır. Çevrimiçi bir türev hesaplayıcısı, bazı durumlarda, görevdeki şeylerin dönüştürülebilir düzenlemesi dışında, doğru yürütülebilir an için sayılar ve semboller olmadan olamaz. Şaşırtıcı bir şekilde, bir maddi noktanın ikinci bir ivmesi vardır, bu ivmedeki değişimi karakterize eder. Kısa bir süre sonra türevin çözümünü online olarak incelemeye başlayacağız ancak bilgide belli bir dönüm noktasına ulaşılır ulaşılmaz öğrencimiz bu süreci durduracaktır. Ağ oluşturmanın en iyi yolu, matematiksel bir konuda canlı sohbet etmektir. Görev ne kadar zor olursa olsun, hiçbir koşulda ihlal edilmemesi gereken ilkeler vardır. Türevi çevrimiçi olarak zamanında ve hatasız bulmakta fayda var. Bu, matematiksel ifadenin yeni bir konumuna yol açacaktır. Sistem kararlı. Türevin fiziksel anlamı mekanik olan kadar popüler değildir. Çevrimiçi türevin, fonksiyonun çizgilerinin ana hatlarını x eksenine bitişik üçgenden normale düzlemde nasıl ayrıntılı olarak çıkardığını kimsenin hatırlaması olası değildir. İnsan, geçen yüzyılın araştırmalarında büyük bir rolü hak ediyor. Fonksiyonun hem tanım alanından hem de sonsuzdaki noktalarda farklılaşmasını üç temel aşamada gerçekleştirelim. Sadece çalışma alanında yazılı olacak, ancak matematik ve sayı teorisinde ana vektörün yerini alabilir, ne olur olmaz çevrimiçi türev hesaplayıcıyı probleme bağlayacaktır. Bir sebep olurdu, ama bir denklem kurmak için bir sebep olacak. Tüm giriş parametrelerini akılda tutmak çok önemlidir. En iyisi her zaman doğrudan alınmaz, bunun arkasında çevrimiçi türevinin uzayda nasıl hesaplandığını bilen en iyi beyinlerin muazzam miktarda emeği vardır. O zamandan beri, dışbükeylik sürekli bir fonksiyonun bir özelliği olarak kabul edildi. Yine de, türevleri mümkün olan en kısa sürede çevrimiçi çözme görevini belirlemek daha iyidir. Böylece çözüm tamamlanmış olacaktır. Yerine getirilmeyen normlara ek olarak, bu yeterli görülmemektedir. Başlangıçta hemen hemen her öğrenci, bir fonksiyonun türevinin nasıl tartışmalı bir büyüme algoritmasına neden olduğuna dair basit bir yöntem ortaya koymayı önerir. Yükselen ışın yönünde. Bu genel bir pozisyon olarak mantıklı. Önceden, belirli bir matematiksel eylemin tamamlanmasının başlangıcını işaretliyorlardı, ancak bugün tam tersi olacak. Belki de çevrimiçi türevin çözümü sorunu yeniden gündeme getirecek ve öğretmenler toplantısındaki tartışmada korunması konusunda ortak bir görüşü kabul edeceğiz. Toplantı katılımcılarının her tarafından anlayış bekliyoruz. Mantıksal anlam, geçen yüzyılda dünyanın büyük bilim adamları tarafından cevaplanan problem düşüncesinin sunum sırası hakkında sayıların rezonansındaki türev hesaplayıcısının açıklamasında yer almaktadır. Dönüştürülen ifadeden karmaşık bir değişken çıkarmaya ve aynı türden büyük bir eylemi gerçekleştirmek için çevrimiçi türevi bulmaya yardımcı olacaktır. Gerçek, tahminden çok daha iyidir. Trenddeki en küçük değer. Ayrıntılı bir çevrimiçi türevi olan en doğru konum için benzersiz bir hizmet kullanıldığında sonuç uzun sürmeyecektir. Dolaylı olarak, ancak bir bilgenin dediği gibi, birliğin farklı şehirlerinden birçok öğrencinin isteği üzerine çevrimiçi bir türev hesaplayıcı oluşturuldu. Bir fark varsa, neden iki kez karar veriyorsunuz. Verilen vektör normal ile aynı taraftadır. Geçen yüzyılın ortalarında bir fonksiyonun farklılaşması hiçbir şekilde bugünkü gibi algılanmıyordu. Devam eden gelişme sayesinde çevrimiçi matematik ortaya çıktı. Zamanla öğrenciler matematik disiplinlerine kredi vermeyi unuturlar. Çevrimiçi türevin çözümü, pratik bilgilerle desteklenen teorinin uygulanmasına haklı olarak dayanan tezimize meydan okuyacaktır. Sunum faktörünün mevcut değerinin ötesine geçecek ve formülü fonksiyon için açık bir biçimde yazacaktır. Şu anda herhangi bir hesap makinesi kullanmadan türevi bulmanız gerekiyor, ancak her zaman öğrencinin hilesine başvurabilir ve yine de böyle bir hizmeti web sitesi olarak kullanabilirsiniz. Böylece öğrenci, taslak not defterinden örnekleri son forma kopyalama konusunda çok zaman kazanacaktır. Çelişki yoksa, bu tür karmaşık örnekler için adım adım çözüm hizmetini kullanın.

Geometri, mekanik, fizik ve diğer bilgi dallarının çeşitli problemlerini çözerken, belirli bir fonksiyondan aynı analitik süreci kullanmak gerekli hale geldi. y=f(x) adlı yeni bir işlev al türev fonksiyonu(ya da sadece bu fonksiyonun türevi) f(x) ve sembolize edilir

Belirli bir işlevin gerçekleştirildiği süreç f(x) yeni bir işlev al f"(x), aranan farklılaşma ve aşağıdaki üç adımdan oluşur: 1) argümanı veriyoruz x artış  x ve fonksiyonun karşılık gelen artışını belirleyin  y = f(x+ x)-f(x); 2) ilişkiyi kurmak

3) sayma x kalıcı ve  x0, buluruz
, ile gösterilir f"(x), ortaya çıkan işlevin yalnızca değere bağlı olduğunu vurguluyormuş gibi x, sınıra geçiyoruz. Tanım: Türev y "=f" (x) verilen fonksiyon y=f(x) verilen x argümanın artışının sıfıra eğilimli olması şartıyla, tabii ki bu limit mevcutsa, yani argümanın artışına fonksiyonun artışının oranının limiti denir. sonlu. Böylece,
, veya

Dikkat edin, eğer bir değer için xörneğin ne zaman x=a, ilişki
de  x0 sonlu bir sınıra eğilim göstermez, o halde bu durumda fonksiyonun f(x) de x=a(veya noktada x=a) türevi yoktur veya bir noktada türevlenebilir değildir x=a.

2. Türevin geometrik anlamı.

x 0 noktasının yakınında türevlenebilen y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini düşünün

f(x)

Fonksiyonun grafiğinin noktasından geçen rastgele bir düz çizgiyi ele alalım - A noktası (x 0, f (x 0)) ve grafiği bir B noktasında (x; f (x)) kesişir. Böyle bir düz çizgiye (AB) sekant denir. ∆ABC'den: ​​AC = ∆x; BC \u003d yy; tgβ=∆y/∆x .

AC'den beri || Ox, sonra ALO = BAC = β (paralel olarak karşılık gelen). Ancak ALO, AB sekantının Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısıdır. Dolayısıyla, tgβ = k, AB düz çizgisinin eğimidir.

Şimdi ∆x'i azaltacağız, yani. ∆x→ 0. Bu durumda, B noktası grafiğe göre A noktasına yaklaşacak ve AB sekantı dönecektir. AB sekantının ∆x → 0'daki sınırlama konumu, A noktasında y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet olarak adlandırılan düz çizgi (a) olacaktır.

tgβ =∆y/∆x eşitliğinde ∆х → 0 olarak limite geçersek,
veya tg \u003d f "(x 0), çünkü
-teğetin Ox ekseninin pozitif yönüne eğim açısı
, bir türev tanımı gereği. Ancak tg \u003d k, teğetin eğimidir, yani k \u003d tg \u003d f "(x 0) anlamına gelir.

Dolayısıyla türevin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir:

Bir fonksiyonun x noktasında türevi 0 apsis x ile noktada çizilen fonksiyonun grafiğine teğetin eğimine eşit 0 .

3. Türevin fiziksel anlamı.

Düz bir çizgi boyunca bir noktanın hareketini düşünün. Herhangi bir andaki noktanın koordinatı x(t) verilsin. Bir zaman periyodundaki ortalama hızın, bu zaman periyodunda kat edilen mesafenin zamana oranına eşit olduğu (fiziğin seyrinden) bilinmektedir, yani.

Vav = ∆x/∆t. Son eşitlikteki limite ∆t → 0 olarak geçelim.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 anındaki anlık hız.

ve lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (türev tanımına göre).

Yani, (t) = x"(t).

Türevin fiziksel anlamı şu şekildedir: fonksiyonun türeviy = f(x) noktadax 0 fonksiyonun değişim oranıdırf(x) noktasındax 0

Türev, fizikte zamandan bilinen bir koordinat fonksiyonundan hızı, zamandan bilinen bir hız fonksiyonundan ivmeyi bulmak için kullanılır.

 (t) \u003d x "(t) - hız,

a(f) = "(t) - hızlanma veya

Bir daire boyunca maddesel bir noktanın hareket yasası biliniyorsa, dönme hareketi sırasında açısal hız ve açısal ivmeyi bulmak mümkündür:

φ = φ(t) - zamanla açı değişimi,

ω \u003d φ "(t) - açısal hız,

ε = φ"(t) - açısal ivme veya ε = φ"(t).

Homojen olmayan bir çubuğun kütlesi için dağılım yasası biliniyorsa, homojen olmayan çubuğun doğrusal yoğunluğu bulunabilir:

m \u003d m (x) - kütle,

x  , l - çubuk uzunluğu,

p \u003d m "(x) - doğrusal yoğunluk.

Türev yardımıyla, esneklik teorisinden ve harmonik titreşimlerden kaynaklanan problemler çözülür. Evet, Hooke yasasına göre

F = -kx, x – değişken koordinat, k – yayın esneklik katsayısı. ω 2 \u003d k / m koyarak, yaylı sarkaç x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0'ın diferansiyel denklemini elde ederiz,

burada ω = √k/√m salınım frekansıdır (l/c), k ise yay hızıdır (H/m).

y "+ ω 2 y \u003d 0 biçimindeki bir denkleme harmonik salınımların denklemi (mekanik, elektrik, elektromanyetik) denir. Bu denklemlerin çözümü fonksiyondur.

y = Asin(ωt + φ 0) veya y = Acos(ωt + φ 0), burada

A - salınım genliği, ω - döngüsel frekans,

φ 0 - ilk aşama.

Bir kişi matematiksel analiz çalışmasında ilk bağımsız adımları attığında ve rahatsız edici sorular sormaya başladığında, "lahanada diferansiyel hesap bulundu" ifadesinden kurtulmak artık o kadar kolay değil. Bu nedenle, doğumunun gizemini belirleme ve çözme zamanı gelmiştir. türev tabloları ve türev alma kuralları. Makalede başladı türevin anlamı hakkında, ki çalışma için şiddetle tavsiye ediyorum, çünkü orada sadece bir türev kavramını düşündük ve konuyla ilgili görevleri tıklamaya başladık. Aynı ders belirgin bir pratik yönelime sahiptir, ayrıca,

Aşağıda ele alınan örnekler, prensip olarak, tamamen resmi olarak öğrenilebilir (örneğin, türevin özünü araştırmak için zaman / arzu olmadığında). En azından iki temel sınıf düzeyinde - "olağan" yöntemi kullanarak türevleri bulabilmek de oldukça arzu edilir (ancak yine gerekli değildir): Karmaşık bir fonksiyonun türevi ve türevi nasıl bulunur?

Ama artık kesinlikle vazgeçilmez olan bir şey olmadan, fonksiyon limitleri. Limitin ne olduğunu ANLAMALI ve bunları en azından orta düzeyde çözebilmelisiniz. Ve tüm çünkü türev

Bir noktadaki fonksiyon şu formülle tanımlanır:

Size tanımları ve terimleri hatırlatıyorum: çağırıyorlar argüman artışı;

– fonksiyon artışı;

- bunlar TEK sembollerdir (“delta”, “X” veya “Y”den “kopyalanamaz”).

Açıktır ki, "dinamik" bir değişkendir, bir sabittir ve limitin hesaplanmasının sonucudur. - sayı (bazen - "artı" veya "eksi" sonsuz).

Bir nokta olarak, ait olan HERHANGİ bir değeri düşünebilirsiniz. etki alanları türevi olan bir fonksiyon.

Not: "türevin bulunduğu" cümlesi - genel olarak anlamlı.! Yani, örneğin, nokta, fonksiyonun tanım alanına girmesine rağmen, ancak türevi

orada yok. Bu nedenle formül

noktada geçerli değil

ve çekincesiz kısaltılmış bir ifade yanlış olur. Benzer gerçekler, grafikte "kırılmalar" bulunan diğer fonksiyonlar için, özellikle arksinüs ve arkosin için de geçerlidir.

Böylece değiştirdikten sonra ikinci çalışma formülünü elde ederiz:

Çaydanlığın kafasını karıştırabilecek sinsi bir duruma dikkat edin: Bu limitte, kendisi bağımsız bir değişken olan "x", ekstra rolü oynar ve "dinamik" yine artışla belirlenir. Limit hesaplama sonucu

türev fonksiyonudur.

Yukarıdakilere dayanarak, iki tipik problemin koşullarını formüle ediyoruz:

- Bulmak bir noktada türev türev tanımını kullanarak.

- Bulmak türev fonksiyonu türev tanımını kullanarak. Gözlemlerime göre bu versiyon çok daha sık ortaya çıkıyor ve asıl dikkat verilecek.

Görevler arasındaki temel fark, ilk durumda sayıyı bulmanın gerekli olmasıdır. (isteğe bağlı olarak sonsuz), ve ikincisinde

işlev . Ayrıca, türev hiç mevcut olmayabilir.

Nasıl ?

Bir oran yapın ve limiti hesaplayın.

Nerede oldu türevler tablosu ve türev alma kuralları ? Tek limitli

Sihir gibi görünüyor ama

gerçeklik - el çabukluğu ve sahtekarlık yok. derste türev nedir? Tanımı kullanarak doğrusal ve ikinci dereceden bir fonksiyonun türevlerini bulduğum belirli örnekleri düşünmeye başladım. Bilişsel ısınma amacıyla, rahatsız etmeye devam edeceğiz. türev tablosu, algoritmayı ve teknik çözümleri honlama:

Aslında, genellikle tabloda görülen bir güç fonksiyonunun türevinin özel bir durumunu kanıtlamak gerekir: .

Çözüm teknik olarak iki şekilde resmileştirilmiştir. İlk, zaten bilinen yaklaşımla başlayalım: merdiven bir plank ile başlar ve türev fonksiyonu bir noktada türev ile başlar.

ait bazı (somut) noktayı düşünün. etki alanları türevi olan bir fonksiyon. Artışı bu noktada ayarlayın (tabii ötesi değil o / o - z) ve işlevin karşılık gelen artışını oluşturun:

Limiti hesaplayalım:

0:0 belirsizliği, MÖ 1. yüzyıla kadar uzanan standart bir teknikle ortadan kaldırılır. çarpmak

birleşik ifade başına pay ve payda :

Böyle bir limiti çözme tekniği, giriş dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. fonksiyonların limitleri hakkında.

Aralığın HERHANGİ bir noktası şu şekilde seçilebileceğinden

Sonra yerine koyarak şunu elde ederiz:

Bir kez daha, logaritmalara sevinelim:

Türevin tanımını kullanarak fonksiyonun türevini bulun

Çözüm: Aynı görevi döndürmek için farklı bir yaklaşım düşünelim. Tamamen aynı, ancak tasarım açısından daha rasyonel. Fikir kurtulmaktır

abone olun ve harf yerine bir harf kullanın.

ait keyfi bir noktayı düşünün etki alanları işlevi (aralık) ve içindeki artışı ayarlayın. Ve bu arada, çoğu durumda olduğu gibi, herhangi bir çekince olmadan yapabilirsiniz, çünkü logaritmik fonksiyon tanım alanındaki herhangi bir noktada türevlenebilir.

Daha sonra karşılık gelen fonksiyon artışı:

Türevini bulalım:

Tasarımın sadeliği, kafa karışıklığı ile dengelenir.

yeni başlayanlarda ortaya çıkar (ve sadece değil). Ne de olsa “X” harfinin limitte değişmesine alışkınız! Ama burada her şey farklı: - antik bir heykel ve - müzenin koridorunda hızla yürüyen yaşayan bir ziyaretçi. Yani “x” “sabit gibidir”.

Belirsizliğin ortadan kaldırılması konusunda adım adım yorum yapacağım:

(1) Logaritmanın özelliğini kullanma.

(2) Payı parantez içindeki paydaya bölün.

(3) Paydada yapay olarak "x" ile çarpar ve böleriz, böylece

harikadan yararlanmak , iken sonsuz küçük gerçekleştirir.

Cevap: Türevin tanımı gereği:

Veya kısaca:

Bağımsız olarak iki tablo formülü daha oluşturmayı öneriyorum:

Tanıma göre türevi bul

Bu durumda, derlenen artış, ortak bir paydaya indirgemek için hemen uygundur. Dersin sonunda yaklaşık bir ödev örneği (ilk yöntem).

Tanıma göre türevi bul

Ve burada her şey dikkate değer bir sınıra indirilmelidir. Çözüm ikinci şekilde çerçevelenir.

Benzer şekilde, bir dizi başka tablo türevleri. Tam bir liste bir okul ders kitabında veya örneğin Fichtenholtz'un 1. cildinde bulunabilir. Kitaplardan ve farklılaşma kurallarının kanıtlarından yeniden yazmanın pek bir anlamı görmüyorum - onlar da üretildi

formül

Gerçek hayattaki görevlere geçelim: Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun türev tanımını kullanarak

Çözüm: ilk stili kullanın. Ait olan bir noktayı ele alalım ve içindeki argümanın artışını ayarlayalım. Daha sonra karşılık gelen fonksiyon artışı:

Belki bazı okuyucular, bir artış yapılması gerektiği ilkesini henüz tam olarak anlamamışlardır. Bir nokta (sayı) alıyoruz ve içindeki fonksiyonun değerini buluyoruz: , yani, fonksiyona

yerine "x" yazılmalıdır. şimdi alıyoruz

Oluşturulan İşlev Artışı hemen basitleştirmekte fayda var. Ne için? Daha fazla sınırın çözümünü kolaylaştırın ve kısaltın.

Formüller kullanıyoruz, parantezleri açıyoruz ve azaltılabilecek her şeyi azaltıyoruz:

Hindinin içi boşaltılmış, kızartmada sorun yok:

Sonunda:

Nitelik olarak herhangi bir gerçek sayı seçilebildiğinden, ikameyi yaparız ve .

Cevap : tanım olarak.

Doğrulama amacıyla, kuralları kullanarak türevi buluyoruz.

farklılaşmalar ve tablolar:

Doğru cevabı önceden bilmek her zaman faydalı ve keyiflidir, bu nedenle çözümün en başında önerilen işlevi “hızlı” bir şekilde zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde ayırt etmek daha iyidir.

Türevin tanımına göre bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. Sonuç yüzeyde yatıyor:

Stil #2'ye Geri Dön: Örnek 7

Ne olması gerektiğini hemen öğrenelim. İle karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralı:

Karar: ait keyfi bir noktayı düşünün, içindeki argümanın artışını ayarlayın ve artışı yapın

Türevini bulalım:

(1) Trigonometrik formülü kullanıyoruz

(2) Sinüs altında parantezleri açıyoruz, kosinüs altında benzer terimler veriyoruz.

(3) Sinüs altında terimleri azaltırız, kosinüs altında payı paydaya göre terime böleriz.

(4) Sinüsün tuhaflığından dolayı "eksi" yi çıkarıyoruz. kosinüs altında

terim olduğunu belirtir.

(5) Paydayı kullanmak için yapay olarak çarpıyoruz ilk harika limit. Böylece belirsizlik ortadan kalkar, sonucu tararız.

Cevap: tanım gereği Gördüğünüz gibi, ele alınan sorunun ana zorluğu,

sınırın kendisinin karmaşıklığı + ambalajın hafif bir özgünlüğü. Uygulamada her iki tasarım yöntemiyle de karşılaşılmaktadır, bu yüzden her iki yaklaşımı da mümkün olduğunca ayrıntılı olarak anlatıyorum. Bunlar eşdeğerdir, ancak yine de öznel izlenimime göre, aptalların “X sıfır” ile 1. seçeneğe bağlı kalmaları daha uygundur.

Tanımı kullanarak fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız karar verme görevidir. Örnek, önceki örnekle aynı ruhla biçimlendirilmiştir.

Sorunun daha nadir bir versiyonunu analiz edelim:

Türev tanımını kullanarak bir noktada bir fonksiyonun türevini bulun.

İlk olarak, alt satırda ne olmalı? Sayı Cevabı standart şekilde hesaplayın:

Karar: Açıklık açısından, bu görev çok daha basittir, çünkü formül yerine

belirli bir değer olarak kabul edilir.

Noktada bir artış belirledik ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturduk:

Bir noktada türevi hesaplayın:

Teğetlerin farkı için çok nadir bir formül kullanıyoruz ve onuncu kez çözümü birinciye indirgiyoruz.

inanılmaz sınır:

Cevap: Bir noktada türevin tanımı gereği.

Görevi çözmek o kadar zor değil ve “genel olarak” - tasarım yöntemine bağlı olarak çivileri veya basitçe değiştirmek yeterlidir. Bu durumda, elbette, bir sayı değil, türev bir fonksiyon elde edersiniz.

Örnek 10 Tanımı kullanarak bir fonksiyonun türevini bulun noktada

Bu bir kendin yap örneğidir.

Son bonus görevi, öncelikle derinlemesine matematiksel analiz çalışması yapan öğrencilere yöneliktir, ancak diğer herkese de zarar vermez:

Fonksiyon türevlenebilir olacak mı? noktada?

Çözüm: Parçalı olarak verilen bir fonksiyonun bir noktada sürekli olduğu açıktır, ancak burada türevlenebilir olacak mı?

Çözüm algoritması ve sadece parçalı fonksiyonlar için değil, aşağıdaki gibidir:

1) Verilen bir noktada soldan türevi bulun: .

2) Verilen noktada sağdaki türevi bulun: .

3) Tek taraflı türevler sonlu ve çakışıyorsa:

, o zaman fonksiyon noktada türevlenebilir ve

geometrik olarak, burada ortak bir teğet vardır (dersin teorik kısmına bakınız). Türevin tanımı ve anlamı).

İki farklı değer alınırsa: (biri sonsuz olabilir), o zaman fonksiyon bir noktada türevlenebilir değildir.

Her iki tek taraflı türev sonsuza eşitse

(farklı işaretleri olsa bile), o zaman fonksiyon

bir noktada türevlenebilir, ancak grafiğin sonsuz bir türevi ve ortak bir dikey teğeti vardır. (dersin 5. Örneğine bakınız)Normal Denklem) .

Tarih: 20.11.2014

türev nedir?

Türev tablosu.

Türev, yüksek matematiğin ana kavramlarından biridir. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan tanışalım.

Bu tanıtım şunları yapmanızı sağlayacaktır:

Bir türev ile basit görevlerin özünü anlayın;

Bu çok basit görevleri başarıyla çözün;

Daha ciddi türev derslerine hazırlanın.

İlk olarak, hoş bir sürpriz.

Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve durum oldukça karmaşıktır. Üzücü. Ancak türevin pratik uygulaması, kural olarak, bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!

Okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi başarıyla tamamlamak için bilmek yeterlidir. sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Ve bu kadar. Bu beni mutlu ediyor.

Birbirimizi tanıyalım mı?)

Şartlar ve tanımlamalar.

İlköğretim matematikte birçok matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklenirse temel matematik yükselir. Bu yeni işlemin adı farklılaşma. Bu işlemin tanımı ve anlamı ayrı derslerde ele alınacaktır.

Burada, türevin sadece bir fonksiyon üzerinde matematiksel bir işlem olduğunu anlamak önemlidir. Herhangi bir işlevi alıyoruz ve belirli kurallara göre dönüştürüyoruz. Sonuç, yeni bir işlevdir. Bu yeni işlevin adı: türev.

farklılaşma- bir fonksiyon üzerinde eylem.

Türev bu eylemin sonucudur.

Tıpkı, örneğin, toplam eklenmesinin sonucudur. Veya özel bölünmesinin sonucudur.

Terimleri bilerek, en azından görevleri anlayabilirsiniz.) İfadeler aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulun; türevini alın; işlevi ayırt etmek; türev hesaplamak vb. hepsi bu aynı. Elbette, türevi bulmanın (farklılaştırma) görevi çözmedeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler vardır.

Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir kısa çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: y" veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.

okuman y vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, iyi anladın...)

Asal, belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" vb. Genellikle türev, diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste böyle bir gösterimi dikkate almayacağız.

Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye - onları nasıl çözeceğinizi öğrenmek için bir şey kalmadı.) Tekrar hatırlatmama izin verin: türevi bulmaktır. Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi. Bu kurallar şaşırtıcı derecede azdır.

Bir fonksiyonun türevini bulmak için sadece üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. İşte üç balina:

1. Türevler tablosu (farklılaşma formülleri).

3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türevler tablosunu ele alacağız.

Türev tablosu.

Dünyanın sonsuz sayıda işlevi vardır. Bu set arasında pratik uygulama için en önemli olan fonksiyonlar bulunmaktadır. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında yer alır. Bu işlevlerden, tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de oluşturabilirsiniz. Bu işlev sınıfına denir temel fonksiyonlar. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol, vb.

İşlevlerin "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. türevin tanımına ve limit teorisine dayanarak - oldukça zaman alıcı bir şey. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece hayatlarını basitleştirdiler (ve biz). Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türev tablosudur.)

İşte, en popüler işlevler için bu plaka. Solda temel bir fonksiyon, sağda türevi var.

	İşlev y	y fonksiyonunun türevi y"
1	C (sabit)	Ç" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n herhangi bir sayıdır)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	günah x	(sinx)" = cosx
	çünkü x	(çünkü x)" = - günah x
	tg x
	ctg x
5	arksin x
	arccos x
	arktg x
	arkctg x
4	a x
	e x
5	kayıt a x
	ln x ( bir = e)

Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi öneririm. Bir güç fonksiyonunun türevi, en yaygın olmasa da en yaygın formüllerden biridir! İpucu açık mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmek arzu edilir. Bu arada, bu göründüğü kadar zor değil. Daha fazla örnek çözmeye çalışın, tablonun kendisi hatırlanacak!)

Türevin tablo değerini bulmak, anladığınız gibi, en zor iş değildir. Bu nedenle, çoğu zaman bu tür görevlerde ek çipler vardır. Ya görevin formülasyonunda ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevde ...

Birkaç örneğe bakalım:

1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3

Tabloda böyle bir fonksiyon yok. Ancak güç fonksiyonunun genel bir türevi vardır (üçüncü grup). Bizim durumumuzda, n=3. Bu yüzden n yerine üçlüyü değiştiriyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:

(x 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Hepsi bu kadar.

Cevap: y" = 3x 2

2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir. x = 0 bu aynı türev için. Bu sırayla! Aksi takdirde, orijinal işlevin içine hemen sıfırı koyarlar ... Asıl işlevin değerini değil, değerini bulmamız istenir. onun türevi. Türev, size hatırlatmama izin verin, zaten yeni bir fonksiyondur.

Plakada sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:

y" = (sinx)" = cosx

Türevde sıfırı yerine koy:

y"(0) = çünkü 0 = 1

Cevap bu olacak.

3. İşlevi ayırt edin:

Ne ilham veriyor?) Türev tablosunda böyle bir fonksiyon bile yok.

Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmak olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız, fonksiyonumuzun türevini bulmak oldukça zahmetlidir. Tablo yardımcı olmuyor...

Ama eğer fonksiyonumuzun olduğunu görürsek çift ​​açının kosinüsü, sonra her şey hemen daha iyi olur!

Evet evet! Orijinal işlevin dönüşümünün farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve hayatı çok daha kolay hale getiriyor. Çift açının kosinüsü formülüne göre:

Şunlar. bizim zor işlevimiz başka bir şey değil y = cox. Ve bu bir tablo işlevidir. Hemen alırız:

Cevap: y" = - günah x.

İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:

4. Bir fonksiyonun türevini bulun:

Türev tablosunda elbette böyle bir fonksiyon yok. Ama temel matematiği hatırlarsanız, güçleri olan eylemler... O zaman bu işlevi basitleştirmek oldukça mümkündür. Bunun gibi:

Ve x üzeri onda birin kuvveti zaten bir tablo işlevidir! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre ve şunu yazın:

Bu kadar. Cevap bu olacak.

Umarım ilk farklılaşma balinası ile - türevler tablosu - her şey açıktır. Kalan iki balina ile başa çıkmak için kalır. Bir sonraki derste, farklılaşma kurallarını öğreneceğiz.