Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını bulmak, oldukça yaygın bir iştir. matematiksel analiz. Bazen bir aşırılık gereklidir. Birçok kişi "aşırı" kelimesinin bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri anlamına geldiğini düşünür. Bu tamamen doğru değil. Değer maksimum veya minimum olabilir, ancak aşırı olamaz.

maksimum olur yerel veya küresel. Yerel bir maksimum nokta, f(x) ile değiştirildiğinde, bu argümanın etrafındaki bölgedeki diğer noktalardan daha az olmayan bir değer veren bir argümandır. Global maksimum için bu bölge, geçerli argümanların tüm bölgesine genişler. Minimum için, bunun tersi doğrudur. Bir ekstremum, yerel bir ekstrem - minimum veya maksimum - değerdir.

Kural olarak, matematikçiler küresel olarak en büyük f (x) değeriyle ilgileniyorlarsa, o zaman tüm argüman ekseninde değil aralıkta. Bu tür görevler genellikle ifade edilmiş"segment üzerindeki fonksiyonun maksimum noktasını bulun." Burada, belirtilen segmentin geri kalanından daha az olmadığı bir argüman tanımlamanın gerekli olduğu anlaşılmaktadır. Yerel bir ekstremum aramak, böyle bir problemi çözmedeki adımlardan biridir.

Verilen y = f(x). Belirtilen segment üzerinde fonksiyonun tepe noktasının belirlenmesi gerekmektedir. f(x) şu noktada ulaşabilir:

• ekstremum, belirtilen segmente giriyorsa,
• açıklık,
• verilen segmenti sınırlamak.

Ders çalışma

Bu fonksiyon incelenerek bir segment veya aralıktaki tepe f(x) bulunur. Bir segmentte (veya aralıkta) maksimumu bulmak için araştırma planı:

Şimdi her adıma daha yakından bakalım ve bazı örneklere bakalım.

Geçerli Argüman Kapsamı

Geçerli argümanların alanı, x'tir, onları f (x) olarak değiştirirken, varlığı sona ermez.Geçerli argümanların alanına tanım alanı da denir. Örneğin, tüm argüman ekseninde y = x^2 tanımlanır. Ve y = 1/x, x = 0 dışındaki tüm argümanlar için tanımlanır.

Aralığın fonksiyonun tanımlanmadığı kısmını göz önünde bulundurmamak için, kabul edilebilir argümanlar bölgesinin ve incelenen segmentin (aralığın) kesişimini bulmak gerekir. Örneğin, -2'den 2'ye kadar olan segmentte y = 1/x'in minimumunu bulmak gerekir. y = 1/0 denkleminin çözümü yoktur.

asimptotlar

Asimptot, fonksiyonun uzandığı ancak ulaşmadığı düz bir çizgidir. Eğer f(x) tüm sayı doğrusunda mevcutsa ve ondan ayrılamaz ise düşey asimptotu yoktur. Süreksiz ise süreksizlik noktası düşey asimptottur. y = 1/x için asimptot, x = 0 denklemi ile verilir. işlev sıfıra gider argümanlar ekseni boyunca ilerler, ancak yalnızca sonsuzluğa koşarak ulaşacaktır.

İncelenen segment üzerinde fonksiyonun bir artı ile sonsuza gitme eğiliminde olduğu bir düşey asimptot varsa, o zaman f(x)'in tepe noktası burada tanımlanmaz. Ve tanımlansaydı, maksimuma ulaşılan argüman, asimptot ve argüman ekseninin kesişme noktası ile çakışırdı.

Türev ve Ekstremler

türev fonksiyon değişim limiti argümandaki değişiklik sıfır olma eğiliminde olduğunda. Bunun anlamı ne? Kabul edilebilir argümanlar alanından küçük bir alan alalım ve burada f(x)'in nasıl değiştiğini görelim ve sonra bu alanı sonsuz küçük bir boyuta indirelim, bu durumda f(x) de aynı şekilde değişecektir. türev adı verilen daha basit bir fonksiyon olarak.

Türevin belirli bir değerdeki değeri, fonksiyona teğetin seçilen noktada hangi açıdan geçtiğini gösterir. Negatif bir değer, fonksiyonun burada azalmakta olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde, pozitif bir türev f(x)'deki bir artışı gösterir. Buradan iki koşul ortaya çıkıyor.

1) Uç noktadaki türev ya sıfırdır ya da belirsizdir. Bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. y = x^3'ün türevini alırız, türev denklemini elde ederiz: y = 3*x^2. "0" argümanını son denklemde yerine koyarsanız türev kaybolur. Ancak bu, y = x^3 için bir ekstremum değildir. Ekstrema sahip olamaz, tüm argüman ekseninde azalır.

2) Uç noktayı geçerken türevin işaret değiştirmesi yeterlidir. Yani, maksimuma kadar f(x) büyür ve maksimumdan sonra azalır - türev pozitifti, ancak negatif oldu.

Yerel maksimum için argümanlar bulunduktan sonra, orijinal denklemde değiştirilmeleri gerekir ve maksimum f(x) değeri elde edilir.

Aralığın sonu ve sonuçların karşılaştırılması

Bir segmentte maksimum ararken, segmentin uçlarındaki değeri kontrol etmek gerekir. Örneğin, segmentte y = 1/x için maksimum, x = 1 noktasında olacaktır. Segmentin içinde yerel bir maksimum olsa bile, segmentin uçlarından birindeki değerin garantisi yoktur. bu maksimumdan büyük olmayacaktır.

Şimdi karşılaştırmamız gerekiyor kesme noktası değerleri(burada f(x) sonsuzluğa meyilli değilse), incelenen aralığın sonunda ve fonksiyonun ekstremumunda. Bu değerlerin en büyüğü, düz çizginin belirli bir bölümündeki fonksiyonun maksimumu olacaktır.

"Fonksiyonun minimum noktasını bulun" ifadesi olan görev için, aralığın sonunda ve kırılma noktalarında yerel minimumların ve değerlerin en küçüğünü seçmelisiniz.

Video

Bir fonksiyonun artan, azalan ve ekstremi

Bir fonksiyonun artış, azalış ve ekstrema aralıklarını bulmak hem bağımsız bir görevdir hem de diğer görevlerin önemli bir parçasıdır, özellikle, tam fonksiyon çalışması. Fonksiyonun artış, azalış ve ekstremleri ile ilgili ilk bilgiler şurada verilmiştir. türev üzerine teorik bölümÖn çalışma için şiddetle tavsiye ettiğim (veya tekrar)- ayrıca aşağıdaki materyalin esas alınması nedeniyle türevin özü bu makalenin uyumlu bir devamı niteliğindedir. Her ne kadar zaman tükeniyorsa, o zaman bugünün dersinin örneklerinden tamamen resmi bir çalışma da mümkündür.

Ve bugün havada ender bir fikir birliği ruhu var ve orada bulunanların hepsinin arzuyla yanıp tutuştuğunu doğrudan hissedebiliyorum. türev kullanarak bir fonksiyonu keşfetmeyi öğrenin. Bu nedenle, makul iyi ebedi terminoloji, monitörlerinizin ekranlarında hemen belirir.

Ne için? En pratik nedenlerden biri: belirli bir görevde sizden genel olarak ne istendiğini netleştirmek için!

Fonksiyon monotonluğu. Aşırı noktalar ve işlev ekstremleri

Bir fonksiyon düşünelim. Basitçe, varsayıyoruz ki sürekli tüm sayı doğrusunda:

Her ihtimale karşı, özellikle yakın zamanda tanışmış olan okuyucular için olası yanılsamalardan hemen kurtulacağız. fonksiyonun işaret sabitliği aralıkları. şimdi biz İLGİLENMİYORUM, fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl yerleştirildiği (yukarıda, aşağıda, ekseni geçtiği yer). İkna için, eksenleri zihinsel olarak silin ve bir grafik bırakın. Çünkü ilgi onda.

İşlev artışlar bir aralıkta, bu aralığın herhangi iki noktası için bağıntı ile ilişkiliyse, eşitsizlik doğrudur. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "aşağıdan yukarıya" gider. Demo işlevi aralık boyunca büyür.

Aynı şekilde, fonksiyon azalır bir aralıkta, verilen aralığın herhangi iki noktası için eşitsizlik doğru olacak şekilde. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "yukarıdan aşağıya" gider. Aralıklarda fonksiyonumuz azalıyor .

Bir fonksiyon bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa, o fonksiyona denir. kesinlikle monoton bu aralıkta. monotonluk nedir? Kelimenin tam anlamıyla alın - monotonluk.

tanımlamak da mümkündür azalmayan işlev (ilk tanımdaki rahat koşul) ve artmayan işlev (2. tanımdaki yumuşatılmış koşul). Bir aralıkta azalmayan veya artmayan bir fonksiyona, belirli bir aralıkta monotonik fonksiyon denir. (kesin monotonluk, "adil" monotonluğun özel bir durumudur).

Teori ayrıca, yarım aralıklar, bölümler de dahil olmak üzere bir fonksiyonun artışını / azalmasını belirlemeye yönelik diğer yaklaşımları da dikkate alır, ancak kafanıza yağ-yağ-yağ dökmemek için kategorik tanımlarla açık aralıklarla çalışmayı kabul ediyoruz - bu daha açıktır ve birçok pratik sorunu çözmek için oldukça yeterlidir.

Böylece, makalelerimde “bir fonksiyonun monotonluğu” ifadesi neredeyse her zaman gizlenecek aralıklar katı monotonluk(fonksiyonun katı artışı veya katı azalması).

Nokta mahalle. Öğrencilerin ellerinden geldiğince dağılıp köşelere korku içinde saklandıkları sözler. …Her ne kadar yazıdan sonra Cauchy limitleri muhtemelen artık saklanmıyorlar ama sadece hafifçe titriyorlar =) Endişelenme, şimdi matematiksel analizin teoremlerinin ispatı olmayacak - tanımları daha sıkı formüle etmek için mahalleye ihtiyacım vardı uç noktalar. Hatırlıyoruz:

mahalle noktası Verilen noktayı içeren aralığı adlandırın, kolaylık olması için aralığın genellikle simetrik olduğu varsayılır. Örneğin, bir nokta ve standart komşuluğu:

Temel olarak tanımlar:

nokta denir katı maksimum nokta, eğer var onun mahallesi, hepsi için noktanın kendisi dışında eşitsizliğin sağlandığı değerler. Özel örneğimizde, bu bir nokta.

nokta denir katı minimum nokta, eğer var onun mahallesi, hepsi için noktanın kendisi dışında eşitsizliğin sağlandığı değerler. Çizimde - "a" noktası.

Not : komşuluğun simetrik olması şartı hiç gerekli değildir. Ayrıca, önemli varoluş gerçeği Belirtilen koşulları sağlayan komşuluk (küçük, hatta mikroskobik de olsa)

noktalar denir katı ekstremum noktaları ya da sadece uç noktalar fonksiyonlar. Yani, maksimum puanlar ve minimum puanlar için genelleştirilmiş bir terimdir.

"Aşırı" kelimesini nasıl anlamalı? Evet, monotonluk kadar doğrudan. Hız treninin uç noktaları.

Monotonluk durumunda olduğu gibi, teoride katı olmayan varsayımlar vardır ve hatta daha yaygın (tabii ki, kabul edilen katı davalar düşer!):

nokta denir maksimum nokta, eğer varçevresi o kadar hepsi için
nokta denir minimum puan, eğer varçevresi o kadar hepsi için Bu mahallenin değerleri, eşitsizliği tutar.

Son iki tanıma göre, sabit bir fonksiyonun herhangi bir noktasının (veya bir fonksiyonun “düz alanı”) hem maksimum hem de minimum nokta olarak kabul edildiğine dikkat edin! Bu arada fonksiyon hem artmayan hem de azalmayan, yani monotondur. Bununla birlikte, pratikte neredeyse her zaman geleneksel "tepeler" ve "oyuklar" (çizime bakınız) üzerinde benzersiz bir "tepenin kralı" veya "bataklık prensesi" ile düşünüldüğü için bu argümanları teorisyenlere bırakıyoruz. Çeşit olarak ortaya çıkar puan, yukarı veya aşağı yönlendirilmiş, örneğin, fonksiyonun minimum noktasında.

Oh, ve kraliyetten bahsetmişken:
- anlamı denir maksimum fonksiyonlar;
- anlamı denir asgari fonksiyonlar.

Yaygın isim - aşırı uçlar fonksiyonlar.

Lütfen sözlerinize dikkat edin!

uç noktalar"x" değerleridir.
aşırılıklar- "oyun" değerleri.

! Not : bazen listelenen terimler, doğrudan fonksiyonun GRAFİĞİNDE bulunan "xy" noktalarına atıfta bulunur.

Bir fonksiyon kaç ekstrema içerebilir?

Yok, 1, 2, 3, … vb. sonsuzluğa. Örneğin, sinüs sonsuz sayıda minimum ve maksimuma sahiptir.

ÖNEMLİ!"Maksimum işlev" terimi aynı değil"bir fonksiyonun maksimum değeri" terimi. Değerin yalnızca yerel mahallede maksimum olduğunu görmek kolaydır ve sol üstte “birdenbire yoldaşlar” vardır. Aynı şekilde, "minimum fonksiyon", "minimum fonksiyon değeri" ile aynı değildir ve çizimde değerin sadece belirli bir alanda minimum olduğunu görebiliriz. Bu bağlamda, uç noktalara da denir. yerel ekstremum noktaları, ve ekstrem yerel uç noktalar. Yürüyorlar ve dolaşıyorlar ve küresel kardeşler. Yani, herhangi bir parabolün tepe noktasında küresel minimum veya küresel maksimum. Ayrıca, aşırı uç türleri arasında ayrım yapmayacağım ve açıklama daha çok genel eğitim amaçları için dile getiriliyor - "yerel" / "küresel" ek sıfatları sürpriz olarak alınmamalıdır.

Teoriye kısa bir giriş yapmamızı bir kontrol çekimi ile özetleyelim: “bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve uç noktalarını bulma” görevi ne anlama geliyor?

Formülasyon şunları bulmayı ister:

- fonksiyonun artış / azalma aralıkları (azalmayan, artmayan çok daha az görülür);

– maksimum puanlar ve/veya minimum puanlar (varsa). Eh, başarısızlıktan minimum / maksimumu kendileri bulmak daha iyidir ;-)

Bütün bunlar nasıl tanımlanır? Bir türev fonksiyonu yardımıyla!

Artış, azalma aralıkları nasıl bulunur,
fonksiyonun ekstremum noktaları ve ekstremumları?

Aslında birçok kural zaten biliniyor ve anlaşılabiliyor. türevin anlamı hakkında ders.

teğet türevi boyunca işlevin arttığının iyi haberini taşır. etki alanları.

Kotanjant ve türevi ile durum tam tersi.

Ark sinüs aralıkta büyür - türev burada pozitiftir: .
için, fonksiyon tanımlanır ancak türevlenebilir değildir. Ancak kritik noktada sağdan bir türev ve bir sağdan teğet ve diğer kenarda da bunların soldaki karşılığı vardır.

Ark kosinüsü ve türevi için benzer bir mantık yürütmenin sizin için zor olmayacağını düşünüyorum.

Bu vakaların tümü, çoğu tablo türevleri, size hatırlatırım, doğrudan takip edin türev tanımları.

Neden türevli bir fonksiyonu keşfedelim?

Bu fonksiyonun grafiğinin nasıl göründüğü hakkında daha iyi bir fikir edinmek için: "aşağıdan yukarıya" gittiği, "yukarıdan aşağıya" gittiği, en yükseklerin en düşüklerine ulaştığı yer (eğer varsa). Tüm fonksiyonlar o kadar basit değildir - çoğu durumda, belirli bir fonksiyonun grafiği hakkında genellikle en ufak bir fikrimiz yoktur.

Daha anlamlı örneklere geçmenin ve düşünmenin zamanı geldi. bir fonksiyonun monotonluk ve ekstrema aralıklarını bulmak için algoritma:

örnek 1

Bir fonksiyonun artan/azalan aralıklarını ve ekstremumlarını bulun

Çözüm:

1) İlk adım bulmaktır fonksiyon kapsamı ve ayrıca kesme noktalarını (varsa) not alın. Bu durumda, fonksiyon gerçek çizginin tamamında süreklidir ve bu eylem biraz biçimseldir. Ancak bazı durumlarda, burada ciddi tutkular alevlenir, bu yüzden paragrafı ihmal etmeden ele alalım.

2) Algoritmanın ikinci noktası nedeniyle

bir ekstremum için gerekli koşul:

Noktada bir ekstremum varsa, o zaman ya değer yoktur.

Sonu kafanız mı karıştı? "modulo x" fonksiyonunun ekstremumu .

şart şart ama yeterli değil ve bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla, eşitlikten, fonksiyonun noktasında maksimum veya minimuma ulaştığı sonucu çıkmaz. Yukarıda klasik bir örnek zaten aydınlandı - bu bir kübik parabol ve kritik noktası.

Ancak ne olursa olsun, bir ekstremum için gerekli koşul, şüpheli noktaların bulunması ihtiyacını belirler. Bunu yapmak için türevi bulun ve denklemi çözün:

İlk makalenin başında fonksiyon grafikleri hakkında Bir örnek kullanarak nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağını anlattım : "... birinci türevi alıp sıfıra eşitleriz: ... Yani denklemimizin çözümü: - işte bu noktada parabolün tepesi bulunur ...". Şimdi sanırım parabolün tepesinin neden tam olarak bu noktada olduğunu herkes anlamıştır =) Genel olarak burada da benzer bir örnekle başlamalıyız ama çok basit (bir çaydanlık için bile). Ek olarak, dersin en sonunda bir analog var. türev fonksiyonu. Öyleyse seviyeyi yükseltelim:

Örnek 2

Bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremumlarını bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam bir çözüm ve problemin yaklaşık bir bitirme örneği.

Kesirli rasyonel fonksiyonlarla buluşmanın uzun zamandır beklenen anı geldi:

Örnek 3

Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu keşfedin

Bir ve aynı görevin nasıl farklı şekillerde yeniden formüle edilebileceğine dikkat edin.

Çözüm:

1) İşlev, noktalarda sonsuz kırılmalara maruz kalır.

2) Kritik noktaları tespit ederiz. Birinci türevi bulalım ve sıfıra eşitleyelim:

Denklemi çözelim. Payı sıfır olduğunda kesir sıfırdır:

Böylece, üç kritik nokta elde ederiz:

3) Sayı doğrusunda tespit edilen TÜM noktaları bir kenara koyun ve aralık yöntemi TÜREVİN işaretlerini tanımlayın:

Aralığın bir noktasını alıp içindeki türevin değerini hesaplamanız gerektiğini hatırlatırım. ve işaretini belirleyin. Saymak bile değil, sözlü olarak “tahmin etmek” daha karlı. Örneğin, aralığa ait bir noktayı alın ve değiştirme işlemini gerçekleştirin: .

İki "artı" ve bir "eksi" bir "eksi" verir, bu nedenle türevin tüm aralıkta negatif olduğu anlamına gelir.

Eylem, anladığınız gibi, altı aralığın her biri için yapılmalıdır. Bu arada, pay faktörü ve paydanın, görevi büyük ölçüde basitleştiren herhangi bir aralığın herhangi bir noktası için kesinlikle pozitif olduğuna dikkat edin.

Dolayısıyla, türev bize FONKSİYONUN KENDİSİNİN şu kadar arttığını söyledi: ve oranında azalır. Birleşim simgesiyle aynı türdeki aralıkları tutturmak uygundur.

Fonksiyon maksimuma ulaştığı noktada:
Bu noktada fonksiyon minimuma ulaşır:

İkinci değeri neden yeniden hesaplayamadığınızı düşünün ;-)

Bir noktadan geçerken türev işaret değiştirmez, bu nedenle fonksiyonun orada AŞIRI YOKTUR - hem azalmış hem de azalan kalmıştır.

! Önemli bir noktayı tekrarlayalım: puanlar kritik olarak kabul edilmez - bir işlevi vardır belirlenmemiş. Buna göre, burada ekstremumlar prensipte olamaz(türev işaret değiştirse bile).

Cevap: fonksiyon artar ve azalır Fonksiyonun maksimumuna ulaşıldığı noktada: , ve noktada - minimum: .

Yerleşik ile birleştiğinde monotonluk aralıkları ve ekstrema bilgisi asimptotlar zaten fonksiyonun grafiğinin görünümü hakkında çok iyi bir fikir veriyor. Ortalama bir kişi, bir fonksiyon grafiğinin iki dikey asimptotu ve bir eğik asimptotu olduğunu sözlü olarak belirleyebilir. İşte kahramanımız:

Çalışmanın sonuçlarını bu fonksiyonun grafiğiyle yeniden ilişkilendirmeye çalışın.
Kritik noktada ekstremum yoktur, ancak eğri bükülmesi(kural olarak, benzer durumlarda olur).

Örnek 4

Bir fonksiyonun ekstremumunu bulun

Örnek 5

Bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını, maksimum ve minimumlarını bulun

... bugün bir tür X-in-a-küp Tatili çıkıyor ....
Soooo, galeride kim bunun için içmeyi teklif etti? =)

Her görevin, dersin sonunda yorumlanan kendi önemli nüansları ve teknik incelikleri vardır.

Merhaba sevgili arkadaşlar! Fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevleri dikkate almaya devam ediyoruz. Bir fonksiyonun maksimum (minimum) değerini bulmak ve bir fonksiyonun maksimum (minimum) noktalarını bulmak için problem çözmenizi öneririm.

Logaritma ile görevlerin en büyük (en küçük) değerini buluruz. Bu makalede, fonksiyonların maksimum (minimum) noktalarını bulma sorununun olduğu ve bu durumda verilen fonksiyonda doğal logaritmanın mevcut olduğu üç problemi ele alacağız.

Teorik an:

Logaritmanın tanımı gereği, logaritmanın işaretinin altındaki ifade sıfırdan büyük olmalıdır. *Bu sadece bu problemlerde değil, logaritma içeren denklem ve eşitsizliklerin çözümünde de dikkate alınmalıdır.

Fonksiyonun maksimum (minimum) noktalarını bulma algoritması:

1. Fonksiyonun türevini hesaplıyoruz.

2. Sıfıra eşitleyin, denklemi çözün.

3. Elde edilen kökleri sayı doğrusunda işaretliyoruz.*Türevin olmadığı noktaları da üzerine işaretliyoruz. Fonksiyonun arttığı veya azaldığı aralıkları bulalım.

4. Bu aralıklarda türevin işaretlerini belirleyin (onlardan türevin içine keyfi değerler koyarak).

5. Bir sonuç çıkarırız.

y \u003d ln (x - 11) - 5x + 2 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun

Hemen x–11>0 (logaritmanın tanımına göre) yani x > 11 yazıyoruz.

Fonksiyonu (11;∞) aralığında ele alacağız.

Türevin sıfırlarını bulalım:

x = 11 noktası, fonksiyonun tanım kümesine dahil değildir ve türev burada yoktur. Sayısal eksende iki nokta 11 ve 11.2 işaretliyoruz. (11;11,2) ve (11,2;+∞) aralıklarından rastgele değerleri bulunan türevin içine koyarak fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyelim ve fonksiyonun davranışını şekilde gösterelim. :

Böylece, x \u003d 11.2 noktasında, fonksiyonun türevi işareti pozitiften negatife değiştirir, bu da bunun istenen maksimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: 11.2

Kendin için karar ver:

y \u003d ln (x + 5) - 2x + 9 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

y \u003d 4x - ln (x + 5) + 8 fonksiyonunun minimum noktasını bulun

Hemen x + 5> 0 olduğunu (logaritmanın özelliğine göre), yani x> -5'i yazıyoruz.

Fonksiyonu (– 5;+∞) aralığında ele alacağız.

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

Türevin sıfırlarını bulalım:

Nokta x = -5 fonksiyonun kapsamına dahil değildir ve türev içinde yoktur. Sayı doğrusunda iki noktayı işaretleyin-5 ve -4.75. (–5;–4.75) ve (–4.75; +∞) aralıklarından rasgele değerleri bulunan türevin yerine koyarak fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyelim ve fonksiyonun davranışını şekilde gösterelim. :

Böylece, x = -4.75 noktasında, fonksiyonun türevi işareti negatiften pozitife değiştirir, bu da bunun istenen minimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: - 4.75

Kendin için karar ver:

y=2x–ln (x+3)+7 fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

y \u003d x 2 -34x + 140lnx -10 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun

Logaritmanın özelliği ile işaretinin altındaki ifade sıfırdan büyüktür, yani x\u003e 0.

(0; +∞) aralığındaki fonksiyonu ele alacağız.

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

Türevin sıfırlarını bulalım:

İkinci dereceden denklemi çözerek şunu elde ederiz: D \u003d 9 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 7.

Nokta x = 0 fonksiyonun kapsamına dahil değildir ve türev içinde yoktur. 0, 7 sayısal ekseninde üç nokta işaretliyoruz ve 10.

X ekseni aralıklara bölünmüştür: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Elde edilen aralıklardan rastgele değerleri bulunan türevle değiştirerek fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleriz ve fonksiyonun davranışını şekilde gösteririz:

Bu kadar. Sana başarılar diliyorum!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.

Bu noktaları bulma algoritması bir kereden fazla tartışıldı, kısaca tekrarlayacağım:

1. Fonksiyonun türevini bulun.

2. Türevin sıfırlarını bulun (türevi sıfıra eşitleriz ve denklemi çözeriz).

3. Ardından sayısal bir eksen oluşturuyoruz, üzerinde bulunan noktaları işaretliyoruz ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirliyoruz. *Bu, aralıklardan keyfi değerlerin türevle değiştirilmesiyle yapılır.

Fonksiyonların incelenmesi için türevin özelliklerine tamamen aşina değilseniz, makaleyi incelediğinizden emin olun.« ». Ayrıca türevler ve türevlendirme kuralları tablosunu da tekrarlayın (aynı maddede mevcuttur). Görevleri düşünün:

77431. y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

3x 2 - 10x + 7 = 0

y(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

y(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

y(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

x = 1 noktasında türev, işaretini pozitiften negatife değiştirir, bu da bunun istenen maksimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap 1

77432. y \u003d x 3 + 5x 2 + 7x–5 fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

3x 2 + 10x + 7 = 0

İkinci dereceden denklemi çözerek elde ederiz:

Aralıklarda fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyip kroki üzerinde işaretliyoruz. Türev ifadeye her aralıktan rastgele bir değer koyarız:

y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

x \u003d -1 noktasında, türev işaretini negatiften pozitife değiştirir, bu da bunun istenen minimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap 1

77435. y \u003d 7 + 12x - x 3 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun

Fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

12 - 3x 2 = 0

x 2 = 4

Elde ettiğimiz denklemi çözerek:

*Bunlar, fonksiyonun olası maksimum (minimum) noktalarıdır.

Aralıklarda fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyip kroki üzerinde işaretliyoruz. Türev ifadeye her aralıktan rastgele bir değer koyarız:

y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

x = 2 noktasında türev, işaretini pozitiften negatife değiştirir, bu da bunun istenen maksimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: 2

*Aynı fonksiyon için minimum nokta x = - 2 noktasıdır.

77439. y \u003d 9x 2 - x 3 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

18x -3x 2 = 0

3x(6 - x) = 0

Elde ettiğimiz denklemi çözerek:

Aralıklarda fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyip kroki üzerinde işaretliyoruz. Türev ifadeye her aralıktan rastgele bir değer koyarız:

y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

y(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

x = 6 noktasında türev, işaretini pozitiften negatife değiştirir, bu da bunun istenen maksimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: 6

*Aynı fonksiyon için minimum nokta x = 0'dır.

77443. y \u003d (x 3 / 3) -9x -7 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

x 2 - 9 = 0

x 2 = 9

Elde ettiğimiz denklemi çözerek:

Aralıklarda fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyip kroki üzerinde işaretliyoruz. Türev ifadeye her aralıktan rastgele bir değer koyarız:

y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

y(0) "= 0 2 – 9 < 0

y(4) "= 4 2 – 9 > 0

x \u003d - 3 noktasında, türev işaretini pozitiften negatife değiştirir, bu da bunun istenen maksimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: - 3

Bu yazıda, bir irrasyonel fonksiyonun maksimum (minimum) noktalarını bulmanın birkaç örneğine bakacağız. Çözüm algoritması, önceki makalelerden birinde, benzer görevlere sahip makalelerde defalarca belirtilmiştir.

Bir sorunuz olabilir - rasyonel bir işlev ile irrasyonel bir işlev arasındaki fark nedir?İrrasyonel bir fonksiyonda, basit bir ifadeyle, argüman kökün altındadır veya derecesi bir kesirli sayıdır (indirgenemez kesir). Başka bir soru -maksimum (minimum) puanlarını bulmadaki fark nedir? Evet hiçbirşey.

Maksimum (minimum) noktaları belirlemek için görevleri çözme ilkesi ve algoritması aynıdır. Sadece malzemenin rahatlığı ve sistematikleştirilmesi için onu birkaç makaleye böldüm - ayrı ayrı rasyonel, logaritmik, trigonometrik ve diğerlerini düşündüm, bir segmentteki irrasyonel bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmak için birkaç örnek daha kaldı. Onları da değerlendireceğiz.

Argümanın bir derecesi olduğunda türevin nasıl bulunacağını burada ayrıntılı olarak açıklayalım, aşağıdaki tüm örneklerde bu kullanılmıştır.

Formülün kendisi:

Yani, bir dereceye kadar bir argümanımız varsa ve bir türev bulmamız gerekiyorsa, o zaman bu derece değerini yazıyoruz, argümanla çarpıyoruz ve derecesi bir eksi olacak, örneğin:

Derece bir kesirli sayı ise, her şey aynıdır:

Sonraki an! Tabii ki, köklerin ve güçlerin özelliklerini hatırlamalısınız, yani:

Diğer bir deyişle, örnekte örneğin bir ifade (veya bir kök ile benzer) görüyorsanız:

O zaman çözerken türevi hesaplamak için x olarak bir derecede temsil edilmelidir, şöyle olacaktır:

Geri kalan tablo türevleri ve bilmeniz gereken türev alma kuralları!!!

Farklılaşma kuralları:

Örnekleri düşünün:

77451. y = x 3/2 - 3x + 1 fonksiyonunun minimum noktasını bulun

Türevin sıfırlarını bulalım:

Denklemi çözüyoruz:

x = 4 noktasında, türev işareti negatiften pozitife değiştirir, bu da bu noktanın minimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: 4

77455. Fonksiyonun maksimum noktasını bulun

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

Türevin sıfırlarını bulalım:

Denklemi çözüyoruz:

Fonksiyonun türevinin işaretlerini tanımlarız ve fonksiyonun davranışını şekilde gösteririz. Bunu yapmak için, elde edilen aralıklardan keyfi değerleri türevde değiştiririz:

x = 4 noktasında, türev işareti pozitiften negatife değiştirir, bu da bu noktanın maksimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: 4

77457. Fonksiyonun maksimum noktasını bulun

Verilen fonksiyonun türevini bulun:

Türevin sıfırlarını bulalım:

Denklemi çözme:

Fonksiyonun türevinin işaretlerini tanımlarız ve fonksiyonun davranışını şekilde gösteririz. Bunu yapmak için, elde edilen aralıklardan keyfi değerleri türevde değiştiririz:

x = 9 noktasında, türev işareti pozitiften negatife değiştirir, bu da bu noktanın maksimum nokta olduğu anlamına gelir.

Cevap: 9