Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi aşağıdakilerden oluşur. Temel dönüşümler kullanılarak, lineer denklem sistemi, katsayı matrisinin olduğu bir forma getirilir. yamuk (üçgen veya basamaklı ile aynı) veya yamuğa yakın (o zaman Gauss yönteminin doğrudan seyri, - sadece doğrudan bir hareket). Böyle bir sistemin bir örneği ve çözümü yukarıdaki şekilde gösterilmektedir.

Böyle bir sistemde, son denklem sadece bir değişken içerir ve değeri benzersiz bir şekilde bulunabilir. Daha sonra bu değişkenin değeri önceki denklemde ( Gauss ters , sonra - önceki değişkenin bulunduğu yalnızca bir ters hareket), vb.

Bir yamuk (üçgen) sistemde, gördüğümüz gibi, üçüncü denklem artık değişken içermez. y ve x, ve ikinci denklem - değişken x .

Sistemin matrisi yamuk şeklini aldıktan sonra, sistemin uyumluluğu sorununu çözmek, çözüm sayısını belirlemek ve çözümleri kendileri bulmak artık zor değil.

Yöntemin avantajları:

1. üçten fazla denklemli ve bilinmeyenli lineer denklem sistemlerini çözerken, Gauss yöntemi çözülürken daha az hesaplama gerektiğinden, Gauss yöntemi Cramer yöntemi kadar hantal değildir;
2. Gauss yöntemini kullanarak belirsiz lineer denklem sistemlerini çözebilirsiniz, yani ortak bir çözüme sahip (ve bunları bu derste inceleyeceğiz) ve Cramer yöntemini kullanarak sadece sistemin belirsiz olduğunu belirtebilirsiniz;
3. bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olmadığı lineer denklem sistemlerini çözebilirsiniz (bunları bu derste ayrıca analiz edeceğiz);
4. yöntem, temel (okul) yöntemlerine dayanmaktadır - bilinmeyenlerin yerine koyma yöntemi ve ilgili makalede değindiğimiz denklemleri ekleme yöntemi.

Herkesin yamuk (üçgen, adım) doğrusal denklem sistemlerinin çözüldüğü basitlikle dolu olması için, ters vuruş kullanarak böyle bir sistemin çözümünü sunuyoruz. Bu sisteme hızlı bir çözüm, dersin başında resimde gösterildi.

örnek 1 Ters hareketi kullanarak bir lineer denklem sistemi çözün:

Çözüm. Bu yamuk sistemde, değişken züçüncü denklemden benzersiz bir şekilde bulunur. Değerini ikinci denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız. y:

Artık iki değişkenin değerlerini biliyoruz - z ve y. Bunları ilk denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız. x:

Önceki adımlardan denklem sisteminin çözümünü yazıyoruz:

Çok basit bir şekilde çözdüğümüz böyle bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde etmek için, doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleriyle ilişkili doğrudan bir hareket uygulamak gerekir. Ayrıca çok zor değil.

Bir lineer denklem sisteminin temel dönüşümleri

Sistemin denklemlerinin cebirsel olarak eklenmesinin okul yöntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin başka bir denkleminin eklenebileceğini ve denklemlerin her birinin bazı sayılarla çarpılabileceğini bulduk. Sonuç olarak, verilene eşdeğer bir lineer denklem sistemi elde ederiz. İçinde, bir denklem zaten yalnızca bir değişken içeriyordu, değerini diğer denklemlerle değiştirerek bir çözüme ulaştık. Bu tür bir ekleme, sistemin temel dönüşüm türlerinden biridir. Gauss yöntemini kullanırken, birkaç tür dönüşüm kullanabiliriz.

Yukarıdaki animasyon, denklem sisteminin kademeli olarak nasıl yamuk biçimine dönüştüğünü göstermektedir. Yani, ilk animasyonda gördüğünüz ve ondan tüm bilinmeyenlerin değerlerini bulmanın kolay olduğundan emin olduğunuz. Böyle bir dönüşümün nasıl gerçekleştirileceği ve elbette örnekler daha fazla tartışılacaktır.

Denklem sisteminde ve sistemin genişletilmiş matrisinde herhangi bir sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken Yapabilmek:

1. takas satırları (bu, bu makalenin en başında belirtilmiştir);
2. diğer dönüşümlerin bir sonucu olarak eşit veya orantılı çizgiler ortaya çıkarsa, biri hariç silinebilir;
3. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu "boş" satırları silin;
4. herhangi bir dizeyi bir sayı ile çarpma veya bölme;
5. herhangi bir satıra bir sayı ile çarpılan başka bir satır ekleyin.

Dönüşümlerin bir sonucu olarak, verilene eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss yöntemiyle sistemin kare matrisli bir doğrusal denklem sistemi çözme örnekleri

Önce bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu lineer denklem sistemlerinin çözümünü ele alalım. Böyle bir sistemin matrisi karedir, yani içindeki satır sayısı sütun sayısına eşittir.

Örnek 2 Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemi çözün

Okul yöntemlerini kullanarak lineer denklem sistemlerini çözerek, iki denklemdeki ilk değişkenin katsayıları zıt sayılar olacak şekilde denklemlerden birini terim terimle belirli bir sayı ile çarptık. Denklemler eklenirken bu değişken elimine edilir. Gauss yöntemi benzer şekilde çalışır.

Çözümün görünümünü basitleştirmek için sistemin artırılmış matrisini oluşturmak:

Bu matriste, bilinmeyenlerin katsayıları dikey çubuktan önce solda ve dikey çubuktan sonra sağda serbest elemanlar bulunur.

Değişkenlerin katsayılarını bölme kolaylığı için (bire bölme elde etmek için) sistem matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirin. Verilene eşdeğer bir sistem elde ederiz, çünkü lineer denklemler sisteminde denklemler yeniden düzenlenebilir:

Yeni birinci denklemle değişkeni ortadan kaldır x ikinci ve sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, matrisin ikinci satırına (bizim durumumuzda ) ile çarpılan ilk satırı ve üçüncü satıra da (bizim durumumuzda ) ile çarpılan ilk satırı ekleyin.

Bu mümkün çünkü

Sistemimizde üçten fazla denklem varsa, ilk satır, eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak sonraki tüm denklemlere eklenmelidir.

Sonuç olarak, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin olduğu yeni bir denklem sisteminin verilen sistemine eşdeğer bir matris elde ederiz. değişken içermez x :

Ortaya çıkan sistemin ikinci satırını basitleştirmek için, onu çarparız ve tekrar bu sisteme eşdeğer denklem sisteminin matrisini alırız:

Şimdi, ortaya çıkan sistemin ilk denklemini değiştirmeden, ikinci denklemi kullanarak değişkeni ortadan kaldırırız y sonraki tüm denklemlerden Bunu yapmak için, sistem matrisinin üçüncü satırına (bizim durumumuzda, ) ile çarpılan ikinci satırı ekleyin.

Sistemimizde üçten fazla denklem varsa, ikinci satır, eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak sonraki tüm denklemlere eklenmelidir.

Sonuç olarak, verilen lineer denklem sistemine eşdeğer sistemin matrisini tekrar elde ederiz:

Verilene eşdeğer bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve değişken sayısı örneğimizdekinden büyükse, değişkenlerin sıralı eleme işlemi, demo örneğimizde olduğu gibi sistem matrisi yamuk olana kadar devam eder.

Çözümü "sondan" bulacağız - tersine. Bunun için belirlediğimiz son denklemden z:
.
Bu değeri bir önceki denklemde yerine koyarsak, bulmak y:

İlk denklemden bulmak x:

Cevap: bu denklem sisteminin çözümü - .

: bu durumda sistemin tek çözümü varsa aynı cevap verilecektir. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, o zaman cevap da olacaktır ve bu, bu dersin beşinci bölümünün konusudur.

Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın.

Önümüzde yine denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu tutarlı ve kesin bir lineer denklem sistemi örneği var. Algoritmadaki demo örneğimizden farkı, halihazırda dört denklem ve dört bilinmeyen olmasıdır.

Örnek 4 Gauss yöntemini kullanarak bir lineer denklem sistemi çözün:

Şimdi, değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Biraz hazırlık çalışması yapalım. Katsayı oranı ile daha uygun hale getirmek için, ikinci satırın ikinci sütununda bir birim almanız gerekir. Bunu yapmak için, üçüncü satırı ikinci satırdan çıkarın ve elde edilen ikinci satırı -1 ile çarpın.

Şimdi üçüncü ve dördüncü denklemlerden değişkenin fiilen yok edilmesini gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, üçüncü satıra , ile çarpılan ikinciyi ve dördüncü ile çarpılan ikinciyi , ekleyin.

Şimdi, üçüncü denklemi kullanarak, değişkeni dördüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için, dördüncü satıra üçüncüyü ekleyin, çarpı . Yamuk şeklinde genişletilmiş bir matris elde ederiz.

Verilen sisteme eşdeğer bir denklem sistemi elde ettik:

Bu nedenle, elde edilen ve verilen sistemler tutarlı ve kesindir. Nihai çözümü "sondan" buluyoruz. Dördüncü denklemden, "x dördüncü" değişkeninin değerini doğrudan ifade edebiliriz:

Bu değeri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyarız ve

,

,

Son olarak, değer ikamesi

İlk denklemde verir

,

"önce x"i bulduğumuz yer:

Cevap: Bu denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır. .

Sistemin çözümünü Cramer yöntemiyle çözen bir hesap makinesinden de kontrol edebilirsiniz: Bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Alaşımlar için bir problem örneği üzerinde uygulanan problemlerin Gauss yöntemi ile çözümü

Fiziksel dünyanın gerçek nesnelerini modellemek için doğrusal denklem sistemleri kullanılır. Bu problemlerden birini çözelim - alaşımlar için. Benzer görevler - karışımlar için görevler, bir mal grubundaki tek tek malların maliyeti veya özgül ağırlığı ve benzerleri.

Örnek 5Üç parça alaşımın toplam kütlesi 150 kg'dır. İlk alaşım% 60 bakır, ikincisi -% 30, üçüncü -% 10 içerir. Aynı zamanda birlikte ele alındığında ikinci ve üçüncü alaşımlarda bakır birinci alaşımdan 28.4 kg, üçüncü alaşımda bakır ikinciden 6.2 kg daha azdır. Her bir alaşım parçasının kütlesini bulun.

Çözüm. Bir lineer denklem sistemi oluşturuyoruz:

İkinci ve üçüncü denklemleri 10 ile çarparak, eşdeğer bir lineer denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz:

Dikkat, doğrudan hareket. Bir satır ekleyerek (bizim durumumuzda, çıkararak), bir sayı ile çarparak (iki kez uygularız), sistemin genişletilmiş matrisi ile aşağıdaki dönüşümler gerçekleşir:

Düz koşu bitti. Yamuk şeklinde genişletilmiş bir matrisimiz var.

Tersini kullanalım. Sondan bir çözüm buluyoruz. Bunu görüyoruz.

Bulduğumuz ikinci denklemden

Üçüncü denklemden -

Sistemin çözümünü Cramer yöntemiyle çözen bir hesap makinesinden de kontrol edebilirsiniz: Bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Gauss yönteminin basitliği, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmek için sadece 15 dakika sürmesi gerçeğiyle kanıtlanmıştır. Adının yöntemine ek olarak, Gauss'un çalışmasından, "Bize inanılmaz ve doğal olmayan şeyleri kesinlikle imkansız olanla karıştırmamalıyız" vecizesi, keşifler yapmak için bir tür kısa talimattır.

Uygulanan birçok problemde üçüncü bir kısıtlama, yani üçüncü bir denklem olmayabilir, o zaman Gauss yöntemiyle üç bilinmeyenli iki denklem sistemini çözmek gerekir veya tam tersine denklemlerden daha az bilinmeyen vardır. Şimdi bu tür denklem sistemlerini çözmeye başlıyoruz.

Gauss yöntemini kullanarak herhangi bir sistemin tutarlı mı yoksa tutarsız mı olduğunu belirleyebilirsiniz. n lineer denklemler n değişkenler.

Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözüm içeren lineer denklem sistemleri

Sonraki örnek, tutarlı fakat belirsiz bir lineer denklem sistemidir, yani sonsuz sayıda çözümü vardır.

Sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra (satırlara izin verme, satırları belirli bir sayı ile çarpma ve bölme, bir satırı diğerine ekleme), formun satırları

Formu olan tüm denklemlerde ise

Serbest üyeler sıfıra eşittir, bu, sistemin belirsiz olduğu, yani sonsuz sayıda çözümü olduğu ve bu tür denklemlerin "gereksiz" olduğu ve sistemden hariç tutulduğu anlamına gelir.

Örnek 6

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturalım. Ardından, ilk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara, sırasıyla , ile çarpılan ilk satırı ekleyin:

Şimdi ikinci satırı üçüncü ve dördüncü sıraya ekleyelim.

Sonuç olarak, sisteme varıyoruz.

Son iki denklem formun denklemleri haline geldi. Bu denklemler, bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için sağlanır ve atılabilir.

İkinci denklemi sağlamak için ve için keyfi değerler seçebiliriz, ardından değeri açık bir şekilde belirlenecektir: . İlk denklemden, değeri de benzersiz bir şekilde bulunur: .

Hem verilen hem de son sistemler uyumludur ancak belirsizdir ve formüller

keyfi için ve bize verilen sistemin tüm çözümlerini verin.

Gauss yöntemi ve çözümü olmayan lineer denklem sistemleri

Aşağıdaki örnek tutarsız bir lineer denklem sistemidir, yani çözümü yoktur. Bu tür sorunların cevabı şu şekilde formüle edilmiştir: sistemin çözümü yoktur.

İlk örnekle bağlantılı olarak zaten belirtildiği gibi, sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra, formun satırları

formun bir denklemine karşılık gelen

Aralarında sıfır olmayan serbest terimli en az bir denklem varsa (yani ), bu denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur ve bu, çözümünü tamamlar.

Örnek 7 Gauss yöntemini kullanarak lineer denklem sistemini çözün:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz. İlk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için, ilk çarpımı ikinci satıra, ilk çarpımı üçüncü satıra ve ilk çarpımı dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi, değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Katsayıların tamsayı oranlarını elde etmek için, sistemin genişletilmiş matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz.

Üçüncü ve dördüncü denklemlerden hariç tutmak için, , ile çarpılan ikinciyi üçüncü satıra ve ikinci ile çarpılan , dördüncü satırına ekleyin.

Şimdi, üçüncü denklemi kullanarak, değişkeni dördüncü denklemden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için, dördüncü satıra üçüncüyü ekleyin, çarpı .

Verilen sistem bu nedenle aşağıdakine eşdeğerdir:

Ortaya çıkan sistem tutarsızdır, çünkü son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir değeri ile karşılanamaz. Bu nedenle, bu sistemin çözümü yoktur.

Tüm çözümlerinin kümesi aynıysa, iki lineer denklem sisteminin eşdeğer olduğu söylenir.

Denklem sisteminin temel dönüşümleri şunlardır:

1. Önemsiz denklemler sisteminden silme, yani. tüm katsayıları sıfıra eşit olanlar;
2. Herhangi bir denklemi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;
3. Herhangi bir j -inci denklemin herhangi bir i -inci denklemine, herhangi bir sayı ile çarpımı.

Bu değişkene izin verilmezse x i değişkenine serbest denir ve tüm denklem sistemine izin verilir.

Teorem. Temel dönüşümler, denklem sistemini eşdeğer bir sisteme dönüştürür.

Gauss yönteminin anlamı, orijinal denklem sistemini dönüştürmek ve eşdeğer bir izin verilen veya eşdeğer tutarsız sistem elde etmektir.

Bu nedenle Gauss yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. İlk denklemi düşünün. İlk sıfır olmayan katsayıyı seçiyoruz ve tüm denklemi ona bölüyoruz. Bazı x i değişkenlerinin 1 katsayısı ile girdiği bir denklem elde ederiz;
2. Bu denklemi diğerlerinden çıkarın, kalan denklemlerdeki x i değişkeninin katsayıları sıfır olacak şekilde sayılarla çarparak çıkarın. x i değişkenine göre çözümlenen ve orijinaline eşdeğer olan bir sistem elde ederiz;
3. Önemsiz denklemler ortaya çıkarsa (nadiren, ancak olur; örneğin, 0 = 0), bunları sistemden sileriz. Sonuç olarak, denklemler bir eksik olur;
4. Önceki adımları en fazla n kez tekrarlıyoruz, burada n sistemdeki denklem sayısıdır. Her seferinde “işleme” için yeni bir değişken seçiyoruz. Çakışan denklemler ortaya çıkarsa (örneğin, 0 = 8), sistem tutarsızdır.

Sonuç olarak, birkaç adımdan sonra, izin verilen bir sistem (muhtemelen serbest değişkenlerle) veya tutarsız bir sistem elde ederiz. İzin verilen sistemler iki duruma ayrılır:

1. Değişken sayısı denklem sayısına eşittir. Böylece sistem tanımlanır;
2. Değişken sayısı denklem sayısından fazladır. Tüm serbest değişkenleri sağda topluyoruz - izin verilen değişkenler için formüller alıyoruz. Bu formüller cevapta yazılmıştır.

Bu kadar! Lineer denklemler sistemi çözüldü! Bu oldukça basit bir algoritmadır ve ustalaşmak için bir matematik öğretmeniyle iletişime geçmeniz gerekmez. Bir örnek düşünün:

Bir görev. Denklem sistemini çözün:

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi ikinci ve üçüncüden çıkarırız - izin verilen x 1 değişkenini alırız;
2. İkinci denklemi (−1) ile çarparız ve üçüncü denklemi (−3)'e böleriz - x 2 değişkeninin 1 katsayısı ile girdiği iki denklem elde ederiz;
3. İkinci denklemi birinciye ekleyip üçüncüden çıkarıyoruz. İzin verilen x 2 değişkenini alalım;
4. Son olarak, üçüncü denklemi birinciden çıkarırız - izin verilen x 3 değişkenini elde ederiz;
5. Yetkili bir sistem aldık, cevabı yazıyoruz.

Ortak bir lineer denklem sisteminin genel çözümü, izin verilen tüm değişkenlerin serbest olanlar cinsinden ifade edildiği orijinal sisteme eşdeğer yeni bir sistemdir.

Genel bir çözüme ne zaman ihtiyaç duyulabilir? k'den daha az adım atmanız gerekiyorsa (k, toplam kaç denklemdir). Ancak, sürecin bazı l. adımda sona ermesinin nedenleri< k , может быть две:

1. l -inci adımdan sonra, (l + 1) sayısı ile denklem içermeyen bir sistem elde ediyoruz. Aslında bu iyi çünkü. çözümlenen sistem yine de alınır - hatta birkaç adım önce.
2. l -inci adımdan sonra, değişkenlerin tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu ve serbest katsayıların sıfırdan farklı olduğu bir denklem elde edilir. Bu tutarsız bir denklemdir ve bu nedenle sistem tutarsızdır.

Gauss yöntemiyle tutarsız bir denklemin ortaya çıkmasının tutarsızlık için yeterli bir neden olduğunu anlamak önemlidir. Aynı zamanda, l -inci adımın bir sonucu olarak önemsiz denklemlerin kalamayacağını - hepsinin doğrudan süreçte silindiğini not ediyoruz.

Adımların açıklaması:

1. İlk denklem çarpı 4'ü ikinciden çıkarın. Ve ayrıca ilk denklemi üçüncüye ekleyin - izin verilen x 1 değişkenini elde ederiz;
2. İkinci denklemden 2 ile çarpılan üçüncü denklemi çıkarırız - 0 = -5 çelişkili denklemini elde ederiz.

Yani, tutarsız bir denklem bulunduğundan sistem tutarsızdır.

Bir görev. Uyumluluğu araştırın ve sistemin genel çözümünü bulun:

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi ikinciden (iki ile çarptıktan sonra) ve üçüncüsünden çıkarırız - izin verilen değişken x 1'i alırız;
2. İkinci denklemi üçüncüden çıkarın. Bu denklemlerdeki tüm katsayılar aynı olduğu için üçüncü denklem önemsiz hale gelir. Aynı zamanda ikinci denklemi (-1) ile çarpıyoruz;
3. İkinci denklemi ilk denklemden çıkarırız - izin verilen x 2 değişkenini alırız. Artık tüm denklem sistemi de çözülmüştür;
4. x 3 ve x 4 değişkenleri serbest olduğundan, izin verilen değişkenleri ifade etmek için onları sağa taşıyoruz. Cevap bu.

Dolayısıyla, izin verilen iki değişken (x 1 ve x 2) ve iki serbest değişken (x 3 ve x 4) olduğu için sistem eklemli ve belirsizdir.

Eğitim Kurumu "Belarus Devleti

Ziraat Akademisi"

Yüksek Matematik Bölümü

yönergeler

"Doğrusal sistemlerin çözümü için Gauss yöntemi" konusunun incelenmesi için

Denklemler” Muhasebe Fakültesi öğrencileri tarafından yazışma eğitim biçimi (NISPO)

Gorki, 2013

Lineer denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi

Eşdeğer denklem sistemleri

Eğer birinin çözümü diğerinin çözümü ise, iki lineer denklem sistemine eşdeğer denir. Bir lineer denklem sistemini çözme süreci, sözde kullanılarak eşdeğer bir sisteme ardışık dönüşümünden oluşur. temel dönüşümler , hangileri:

1) sistemin herhangi iki denkleminin permütasyonu;

2) sistemin herhangi bir denkleminin her iki bölümünün sıfır olmayan bir sayı ile çarpımı;

3) herhangi bir denkleme herhangi bir sayı ile çarpılan başka bir denklem eklemek;

4) sıfırlardan oluşan bir denklemin silinmesi, yani. tip denklemler.

Gauss elimine etme

Sistemi düşünün m lineer denklemler n Bilinmeyen:

Gauss yönteminin veya bilinmeyenlerin ardışık dışlanması yönteminin özü aşağıdaki gibidir.

İlk olarak, temel dönüşümler yardımıyla, bilinmeyen, birincisi hariç, sistemin tüm denklemlerinden çıkarılır. Sistemin bu tür dönüşümlerine denir Gauss eleme adımı . Bilinmeyen denir değişken çözme dönüşümün ilk adımında. katsayı denir çözünürlük faktörü , ilk denklem denir denklem çözme , ve katsayılar sütunu sütunu etkinleştir .

Tek bir Gauss eleme adımı gerçekleştirirken aşağıdaki kurallar kullanılmalıdır:

1) çözen denklemin katsayıları ve serbest terimi değişmeden kalır;

2) çözme katsayısının altında bulunan çözme sütununun katsayıları sıfıra döner;

3) İlk adımdaki diğer tüm katsayılar ve serbest terimler dikdörtgen kuralına göre hesaplanır:

, nerede i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Sistemin ikinci denkleminde benzer dönüşümler yapıyoruz. Bu, ilk ikisi hariç tüm denklemlerde bilinmeyenin hariç tutulacağı bir sisteme yol açacaktır. Sistemin denklemlerinin her biri üzerindeki bu tür dönüşümlerin bir sonucu olarak (Gauss yönteminin doğrudan seyri), orijinal sistem aşağıdaki tiplerden birinin eşdeğer adım sistemine indirgenir.

Ters Gauss yöntemi

Adım sistemi

üçgen bir şekle sahiptir ve hepsi (i=1,2,…,n). Böyle bir sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Bilinmeyenler, son denklemden başlayarak belirlenir (Gauss yönteminin tersi).

Adım sistemi şu şekildedir:

nerede, yani sistem denklemlerinin sayısı bilinmeyenlerin sayısından az veya ona eşittir. Son denklem değişkenin herhangi bir değeri için geçerli olmayacağından bu sistemin çözümü yoktur.

Kademeli görüş sistemi

sonsuz sayıda çözümü vardır. Son denklemden, bilinmeyen, bilinmeyenler cinsinden ifade edilir. . Daha sonra, bilinmeyen yerine, bilinmeyenler cinsinden ifadesi sondan bir önceki denklemde değiştirilir. . Gauss yönteminin tersinden devam edilerek bilinmeyenler bilinmeyenler cinsinden ifade edilebilir . Bu durumda bilinmeyen aranan Bedava ve herhangi bir değer alabilir ve bilinmeyen temel.

Pratikte sistemleri çözerken, tüm dönüşümleri bir denklem sistemi ile değil, bilinmeyen katsayılar ve bir serbest terimler sütunundan oluşan genişletilmiş bir sistem matrisi ile gerçekleştirmek uygundur.

örnek 1. Bir denklem sistemini çözün

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturalım ve temel dönüşümleri gerçekleştirelim:

.

Sistemin genişletilmiş matrisinde 3 sayısı (vurgulanmıştır) çözünürlük faktörü, ilk satır çözünürlük satırı ve ilk sütun çözünürlük sütunudur. Bir sonraki matrise geçerken, çözümleme satırı değişmez, çözümleme öğesinin altındaki çözümleme sütununun tüm öğeleri sıfırlarla değiştirilir. Ve matrisin diğer tüm elemanları dörtgen kuralına göre yeniden hesaplanır. İkinci satırdaki eleman 4 yerine yazıyoruz , ikinci satırdaki -3 öğesi yerine yazılacak vb. Böylece ikinci matris elde edilmiş olacaktır. Bu matris, ikinci satırda 18 numaralı çözümleme elemanına sahip olacaktır. Bir sonraki (üçüncü matrisi) oluşturmak için ikinci satırı değiştirmeden bırakırız, çözümleme elemanının altındaki sütuna sıfır yazarız ve kalan iki elemanı yeniden hesaplarız: 1 sayısı yerine yazarız , ve 16 rakamı yerine yazıyoruz .

Sonuç olarak, orijinal sistem eşdeğer bir sisteme indirgenir.

Üçüncü denklemden bulduğumuz . Bu değeri ikinci denklemde yerine koyun: y=3. Bulunan değerleri ilk denklemde yerine koyun y ve z: , x=2.

Böylece, bu denklem sisteminin çözümü, x=2, y=3, .

Örnek 2. Bir denklem sistemini çözün

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisi üzerinde temel dönüşümler yapalım:

İkinci matriste, üçüncü satırın her bir elemanı 2'ye bölünür.

Dördüncü matriste, üçüncü ve dördüncü sıraların her bir elemanı 11'e bölünmüştür.

. Ortaya çıkan matris, denklem sistemine karşılık gelir

Bu sistemi çözerek buluruz , , .

Örnek 3. Bir denklem sistemini çözün

Çözüm. Sistemin artırılmış matrisini yazalım ve temel dönüşümleri yapalım:

.

İkinci matriste, ikinci, üçüncü ve dördüncü sıraların her bir elemanı 7'ye bölünmüştür.

Sonuç olarak, denklem sistemi

orijinaline eşdeğer.

Bilinmeyenlerden iki tane daha az denklem olduğu için, o zaman ikinci denklemden . ifadesini ilk denklemde yerine koyun: , .

yani formüller Bu denklem sisteminin genel çözümünü veriniz. Bilinmeyen ve ücretsizdir ve her değeri alabilir.

Örneğin, O zamanlar ve . Çözüm sayısız olan sistemin özel çözümlerinden biridir.

Bilginin kendi kendini kontrol etmesi için sorular

1) Doğrusal sistemlerin hangi dönüşümlerine temel denir?

2) Sistemin hangi dönüşümlerine Gauss eleme adımı denir?

3) Çözümleme değişkeni, çözümleme faktörü, çözümleme sütunu nedir?

4) Gauss eleme işleminin bir adımını gerçekleştirirken hangi kurallar kullanılmalıdır?

1. Lineer cebirsel denklemler sistemi

1.1 Lineer cebirsel denklemler sistemi kavramı

Bir denklem sistemi, birkaç değişkende birkaç denklemin aynı anda yürütülmesinden oluşan bir durumdur. m denklem ve n bilinmeyen içeren bir lineer cebirsel denklem sistemi (bundan sonra SLAE olarak anılacaktır), şu şekilde bir sistemdir:

a ij sayıları sistemin katsayıları olarak adlandırılırken, b i sayıları serbest üyelerdir, aij ve ben(i=1,…, m; b=1,…, n) bilinen bazı sayılardır ve x 1 ,…, x n- Bilinmeyen. Katsayıların gösteriminde aij ilk indeks i denklemin numarasını, ikinci indeks j ise bu katsayının bulunduğu bilinmeyenin sayısını gösterir. x n sayısını bulmaya tabidir. Böyle bir sistemi kompakt bir matris biçiminde yazmak uygundur: AX=B. Burada A, ana matris olarak adlandırılan sistemin katsayılarının matrisidir;

bilinmeyen xj'nin bir sütun vektörüdür.
ücretsiz üyelerin bir sütun vektörüdür bi.

A * X matrislerinin çarpımı tanımlanır, çünkü A matrisinde X matrisinde ne kadar satır varsa (n adet) sütun vardır.

Sistemin genişletilmiş matrisi, serbest terimler sütunu ile tamamlanan sistemin A matrisidir.

1.2 Lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümü

Bir denklem sisteminin çözümü, sıralı bir sayı kümesidir (değişkenlerin değerleri), değişkenler yerine bunları değiştirirken, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür.

Sistemin çözümü, sistemin tüm denklemlerinin gerçek eşitliklere dönüştüğü x1=c1, x2=c2,…, xn=cn bilinmeyenlerinin n değeridir. Sistemin herhangi bir çözümü matris-sütun olarak yazılabilir.

Bir denklem sistemine en az bir çözümü varsa tutarlı, çözümü yoksa tutarsız denir.

Ortak bir sisteme, tek bir çözümü varsa kesin, birden fazla çözümü varsa belirsiz denir. İkinci durumda, çözümlerinin her birine sistemin belirli bir çözümü denir. Tüm özel çözümlerin kümesine genel çözüm denir.

Bir sistemi çözmek, onun tutarlı mı yoksa tutarsız mı olduğunu bulmak demektir. Sistem uyumluysa, genel çözümünü bulun.

Aynı genel çözüme sahiplerse iki sistem eşdeğer (eşdeğer) olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, eğer birine verilen her çözüm diğerine bir çözümse veya bunun tersi de sistemler eşdeğerdir.

Uygulanması bir sistemi orijinal sisteme eşdeğer yeni bir sisteme dönüştüren bir dönüşüme eşdeğer veya eşdeğer dönüşüm denir. Aşağıdaki dönüşümler eşdeğer dönüşümlerin örnekleri olarak hizmet edebilir: sistemin iki denklemini değiştirmek, iki bilinmeyeni tüm denklemlerin katsayılarıyla birlikte değiştirmek, sistemin herhangi bir denkleminin her iki parçasını sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak.

Tüm serbest terimler sıfıra eşitse, bir lineer denklem sistemine homojen denir:

Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır, çünkü x1=x2=x3=…=xn=0 sistemin bir çözümüdür. Bu çözüme boş veya önemsiz denir.

2. Gauss eleme yöntemi

2.1 Gauss eleme yönteminin özü

Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için klasik yöntem, bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemidir - Gauss yöntemi(Gauss eleme yöntemi olarak da adlandırılır). Bu, temel dönüşümlerin yardımıyla, bir denklem sistemi, diğer tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu kademeli (veya üçgen) bir formun eşdeğer bir sistemine indirgendiğinde, değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için bir yöntemdir. son (sayıya göre) değişkenler.

Gauss çözüm süreci iki aşamadan oluşur: ileri ve geri hareketler.

1. Doğrudan hareket.

İlk aşamada, sıralar üzerindeki temel dönüşümler yoluyla sistem kademeli veya üçgen bir forma getirildiğinde veya sistemin tutarsız olduğu belirlendiğinde, sözde doğrudan hareket gerçekleştirilir. Yani, matrisin ilk sütununun elemanları arasından sıfır olmayan bir tane seçilir, satırlar değiştirilerek en üst konuma taşınır ve permütasyondan sonra elde edilen ilk satır, kalan satırlardan çıkarılarak çarpılır. bu satırların her birinin ilk elemanının ilk satırın ilk elemanına oranına eşit bir değer ile, böylece altındaki sütun sıfırlanır.

Belirtilen dönüşümler yapıldıktan sonra, ilk satır ve ilk sütun zihinsel olarak üstü çizilir ve sıfır boyutlu bir matris kalana kadar devam edilir. İlk sütunun öğeleri arasındaki yinelemelerin bazılarında sıfır olmayan bir tane bulunamadıysa, bir sonraki sütuna gidin ve benzer bir işlem yapın.

İlk aşamada (ileri gidiş), sistem kademeli (özellikle üçgen) bir forma indirgenir.

Aşağıdaki sistem adım adımdır:

,

aii katsayılarına sistemin ana (öncü) elemanları denir.

(eğer a11=0 ise, matrisin satırlarını şu şekilde yeniden düzenleyin: a 11, 0'a eşit değildi. Bu her zaman mümkündür, aksi halde matris bir sıfır sütunu içerir, determinantı sıfıra eşittir ve sistem tutarsızdır).

İlk denklem dışındaki tüm denklemlerde bilinmeyen x1'i elimine ederek sistemi dönüştürüyoruz (sistemin temel dönüşümlerini kullanarak). Bunu yapmak için, ilk denklemin her iki tarafını ile çarpın.

ve sistemin ikinci denklemiyle terim terim ekleyin (ya da ikinci denklemden terim terim, birinci çarpı ile çıkarıyoruz). Sonra ilk denklemin her iki parçasını da ile çarparız ve onu sistemin üçüncü denklemine ekleriz (veya birinciyi üçüncü terimle çarpıp terim ile çıkarırız). Böylece, ilk satırı bir sayı ile art arda çarpıyoruz ve ekliyoruz. i-inci satır için ben= 2, 3, …,n.

Bu işleme devam ederek eşdeğer sistemi elde ederiz:

– sistemin son m-1 denklemlerinde formüllerle belirlenen bilinmeyenler ve serbest terimler için katsayıların yeni değerleri:

Böylece, ilk adımda, ilk öncü eleman a 11 altındaki tüm katsayılar yok edilir.

0, ikinci adım, ikinci önde gelen eleman a 22 (1) (eğer 22 (1) 0 ise) altındaki elemanları yok eder, vb. Bu işlemi daha da sürdürerek, son olarak orijinal sistemi (m-1) adımında üçgen bir sisteme indirgeyeceğiz.

Sistemi kademeli bir forma indirgeme sürecinde sıfır denklem ortaya çıkarsa, yani. 0=0 biçimindeki eşitlikler atılır. Formun bir denklemi varsa

Bu, sistemin uyumsuzluğunu gösterir.

Bu, Gauss yönteminin doğrudan seyrini tamamlar.

2. Ters hareket.

İkinci aşamada, özü, ortaya çıkan tüm temel değişkenleri temel olmayanlar cinsinden ifade etmek ve temel bir çözüm sistemi oluşturmak olan veya tüm değişkenler temel ise, sözde ters hareket gerçekleştirilir. daha sonra lineer denklem sisteminin tek çözümünü sayısal olarak ifade edin.

Bu prosedür, karşılık gelen temel değişkenin ifade edildiği (içinde sadece bir tane vardır) ve önceki denklemlere ikame edildiği son denklemle başlar ve "adımlara" çıkarak devam eder.

Her satır tam olarak bir temel değişkene karşılık gelir, bu nedenle son (en üstteki) hariç her adımda durum son satırın durumunu tam olarak tekrarlar.

Not: pratikte, sistemle değil, satırlarında tüm temel dönüşümleri gerçekleştirerek genişletilmiş matrisiyle çalışmak daha uygundur. a11 katsayısının 1'e eşit olması uygundur (denklemleri yeniden düzenleyin veya denklemin her iki tarafını a11'e bölün).

2.2 Gauss yöntemiyle SLAE çözme örnekleri

Bu bölümde, üç farklı örnek kullanarak, Gauss yönteminin SLAE'yi çözmek için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz.

Örnek 1. 3. dereceden SLAE'yi çözün.

Katsayıları sıfıra ayarlayın

ikinci ve üçüncü satırlarda. Bunu yapmak için sırasıyla 2/3 ve 1 ile çarpın ve ilk satıra ekleyin:

Bu makalede, yöntem lineer denklem sistemlerini (SLAE) çözmenin bir yolu olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani genel bir çözüm algoritması yazmanıza ve ardından oradaki belirli örneklerden değerleri değiştirmenize izin verir. Matris yönteminin veya Cramer formüllerinin aksine, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Ya da hiç sahip değiller.

Gauss'un anlamı nedir?

İlk önce denklem sistemimizi yazmanız gerekiyor Bu şuna benziyor. Sistem alınır:

Katsayılar bir tablo şeklinde ve sağda ayrı bir sütunda ücretsiz üyeler şeklinde yazılır. Kolaylık sağlamak için serbest üyeli sütun ayrılır.Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Ayrıca, katsayılı ana matris üst üçgen şekle indirgenmelidir. Sistemin Gauss yöntemiyle çözülmesinin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris şöyle görünmelidir, böylece sol alt kısmında yalnızca sıfırlar bulunur:

Ardından, yeni matrisi tekrar bir denklem sistemi olarak yazarsanız, son satırın zaten köklerden birinin değerini içerdiğini ve daha sonra yukarıdaki denklemde ikame edildiğini, başka bir kökün bulunduğunu ve bu şekilde devam ettiğini fark edeceksiniz.

Bu, Gauss yöntemiyle çözümün en genel hatlarıyla bir açıklamasıdır. Ve aniden sistem bir çözüme sahip olmazsa ne olur? Yoksa sonsuz sayıda var mı? Bu ve daha pek çok soruyu cevaplamak için Gauss yöntemiyle çözümde kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Matriste gizli bir anlam yoktur. Daha sonraki işlemler için verileri kaydetmenin uygun bir yoludur. Okul çocukları bile onlardan korkmamalı.

Matris her zaman dikdörtgendir, çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen bir matris oluşturmaya indirgendiği Gauss yönteminde bile, girişte, sayıların olmadığı yerde yalnızca sıfırlarla birlikte bir dikdörtgen görünür. Sıfırlar atlanabilir, ancak bunlar ima edilir.

Matrisin bir boyutu vardır. "Genişliği" satır sayısıdır (m), "uzunluğu" sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (belirlemeleri için genellikle büyük Latin harfleri kullanılır) A m×n olarak gösterilecektir. m=n ise, bu matris karedir ve m=n onun sırasıdır. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun sayısı ile gösterilebilir: a xy ; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.

B, çözümün ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerin kendileriyle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve içinde kafa karıştırmak çok daha kolay olacaktır.

determinant

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli bir özellik. Şimdi anlamını bulmak buna değmez, basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerden geçer. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinin üzerinde bulunan elemanlar çarpılır ve daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - "artı" işaretli, sola eğimli - "eksi" işaretli.

Determinantın yalnızca bir kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. Dikdörtgen bir matris için şunları yapabilirsiniz: satır sayısı ve sütun sayısından (k olsun) en küçüğünü seçin ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rasgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişim noktasında bulunan elemanlar yeni bir kare matris oluşturacaktır. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayıysa, orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü olarak adlandırılır.

Gauss yöntemiyle denklem sisteminin çözümüne geçmeden önce determinantı hesaplamaktan zarar gelmez. Sıfır olduğu ortaya çıkarsa, hemen matrisin sonsuz sayıda çözümü olduğunu veya hiç olmadığını söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda, daha ileri gitmeniz ve matrisin sıralamasını öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rankı diye bir şey var. Bu, sıfırdan farklı olan determinantının maksimum mertebesidir (küçük temeli hatırlarsak, bir matrisin sırasının, temel minörün sırası olduğunu söyleyebiliriz).

Rütbe ile işlerin nasıl olduğuna göre, SLAE ayrılabilir:

• Bağlantı. saat ortak sistemlerin, ana matrisin sırası (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş olanın sırası ile (bir serbest üye sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir tane olması gerekmez, bu nedenle ortak sistemler ayrıca aşağıdakilere ayrılır:
• - belirli- benzersiz bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde, matrisin rankı ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütunların sayısı) eşittir;
• - belirsiz - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemler için matrislerin sırası, bilinmeyenlerin sayısından daha azdır.
• Uyumsuz. saat bu tür sistemlerde, ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.

Gauss yöntemi, ya sistemin tutarsızlığının açık bir kanıtını (büyük matrislerin determinantlarını hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel bir çözümü elde etmeye izin vermesi bakımından iyidir.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemin çözümüne geçmeden önce daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirmek mümkündür. Bu, temel dönüşümler yoluyla elde edilir - öyle ki bunların uygulanması nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Yukarıdaki temel dönüşümlerin bazılarının yalnızca kaynağı tam olarak SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

1. Dize permütasyonu. Sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirirsek, bunun çözümü hiçbir şekilde etkilemeyeceği açıktır. Sonuç olarak, elbette, serbest üyeler sütununu unutmadan, bu sistemin matrisindeki satırları değiştirmek de mümkündür.
2. Bir dizenin tüm öğelerini bir faktörle çarpma. Çok kullanışlı! Bununla, matristeki büyük sayıları azaltabilir veya sıfırları kaldırabilirsiniz. Çözüm seti, her zamanki gibi değişmeyecek ve daha fazla işlem yapmak daha uygun hale gelecektir. Ana şey, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
3. Orantılı katsayılı satırları silin. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Matristeki iki veya daha fazla satırın orantılı katsayıları varsa, o zaman satırlardan birini orantılılık katsayısıyla çarparken / bölerken, iki (veya yine, daha fazla) kesinlikle aynı satır elde edilir ve fazlalıkları kaldırabilir, yalnızca bir.
4. Boş satırı kaldırma. Dönüşümler sırasında, serbest üye de dahil olmak üzere tüm öğelerin sıfır olduğu bir yerde bir dize elde edilirse, böyle bir dize sıfır olarak adlandırılabilir ve matristen atılabilir.
5. Belirli bir katsayı ile çarpılarak, bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi. En belirsiz ve en önemli dönüşüm. Üzerinde daha ayrıntılı durmaya değer.

Bir faktörle çarpılan bir dize ekleme

Anlama kolaylığı için, bu süreci adım adım sökmeye değer. Matristen iki satır alınır:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... 2n | b2

Birinciyi ikinciye eklemeniz gerektiğini varsayalım, "-2" katsayısı ile çarpılır.

a" 21 \u003d 21 + -2 × 11

a" 22 \u003d 22 + -2 × 12

a" 2n \u003d bir 2n + -2 × bir 1n

Daha sonra matriste ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

11 a 12 ... 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Çarpma faktörünün, iki dizenin eklenmesi sonucunda yeni dizenin öğelerinden birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle, sistemde bir bilinmeyenin daha az olacağı bir denklem elde etmek mümkündür. Ve böyle iki denklem alırsanız, işlem tekrar yapılabilir ve zaten iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalinden daha düşük olan tüm satırlar için bir katsayıyı her sıfıra çevirirsek, o zaman adımlar gibi, matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebiliriz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. m tane denklemi ve n tane bilinmeyen kökü var. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Ana matris, sistemin katsayılarından derlenir. Genişletilmiş matrise bir serbest üyeler sütunu eklenir ve kolaylık olması için bir çubukla ayrılır.

• matrisin ilk satırı k = (-a 21 / a 11) katsayısı ile çarpılır;
• matrisin ilk değiştirilmiş satırı ve ikinci satırı eklenir;
• ikinci satır yerine, önceki paragraftan yapılan toplamanın sonucu matrise eklenir;
• şimdi yeni ikinci satırdaki ilk katsayı 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm serisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü satırlar dahil edilir. Buna göre, algoritmanın her adımında, a 21 öğesi, bir 31 ile değiştirilir. Sonra her şey 41 , ... a m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfıra eşit olduğu bir matristir. Şimdi bir numaralı satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamamız gerekiyor:

• katsayısı k \u003d (-a 32 / 22);
• ikinci değiştirilmiş satır "geçerli" satıra eklenir;
• eklemenin sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlarda değiştirilirken birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
• matrisin satırlarında, ilk iki eleman zaten sıfıra eşittir.

Algoritma, k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu, algoritmanın en son çalıştırılmasının yalnızca alt denklem için olduğu anlamına gelir. Şimdi matris bir üçgen gibi görünüyor veya kademeli bir şekle sahip. Alt satırda a mn × x n = b m eşitliği bulunur. Katsayı ve serbest terim bilinir ve kök bunlar aracılığıyla ifade edilir: x n = b m /a mn. Elde edilen kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst sıraya yerleştirilir. Ve benzer şekilde devam eder: sonraki her satırda yeni bir kök vardır ve sistemin "tepesine" ulaştıktan sonra birçok çözüm bulabilirsiniz. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde, serbest terim dışındaki tüm elemanlar sıfıra eşitse, bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Sonsuz sayıda çözüm olduğunda

İndirgenmiş üçgen matriste, bir elemanlı - denklemin katsayısı ve bir - serbest elemanlı satır olmadığı ortaya çıkabilir. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen dizeler vardır. Bu, sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel - bunlar, kademeli matristeki satırların "kenarında" duranlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest olanlar cinsinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak sadece bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, bir tarafta kalır ve diğer her şey diğerine aktarılır. Bu, bir temel değişkenli her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkünse temel değişken yerine onun için elde edilen ifade ikame edilir. Sonuç yine yalnızca bir temel değişken içeren bir ifade ise, oradan tekrar ifade edilir ve her bir temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu böyle devam eder. Bu, SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Özel örneklerle çözüm

İşte denklem sistemi.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemi ile çözülürken, dönüşümlerin sonunda ilk satıra karşılık gelen denklemin değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst öğesinin en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk öğeleri sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinciyi ilk satırın yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d 22 + k × bir 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Şimdi kafa karıştırmamak için dönüşümlerin ara sonuçlarını içeren matrisi yazmak gerekiyor.

Böyle bir matrisin bazı işlemler yardımıyla algıya daha uygun hale getirilebileceği açıktır. Örneğin, her bir elemanı "-1" ile çarparak ikinci satırdaki tüm "eksileri" kaldırabilirsiniz.

Ayrıca, üçüncü satırdaki tüm öğelerin üçün katları olduğunu belirtmekte fayda var. Ardından, her öğeyi "-1/3" ile çarparak dizeyi bu sayıya kadar azaltabilirsiniz (eksi - aynı zamanda negatif değerleri kaldırmak için).

Çok daha güzel görünüyor. Şimdi ilk satırı yalnız bırakmalı ve ikinci ve üçüncü ile çalışmalıyız. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir faktörle çarpılır ki, a 32 öğesi sıfıra eşit olur.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 kesirler ve ancak o zaman, cevaplar alındığında, yuvarlayıp başka bir gösterim biçimine çevirmeye karar verin)

a" 32 = 32 + k × 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matris yeni değerlerle tekrar yazılır.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Gördüğünüz gibi, ortaya çıkan matris zaten kademeli bir forma sahip. Bu nedenle, sistemin Gauss yöntemiyle daha fazla dönüştürülmesi gerekli değildir. Burada yapılabilecek olan, üçüncü satırdan "-1/7" genel katsayısını çıkarmaktır.

Şimdi her şey güzel. Nokta küçük - matrisi tekrar bir denklem sistemi şeklinde yazın ve kökleri hesaplayın

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Şimdi köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket denir. Denklem (3), z'nin değerini içerir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmanızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sisteme eklem ve hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olmak deme hakkımız var. Cevap aşağıdaki formda yazılmıştır:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Belirsiz bir sistem örneği

Belirli bir sistemi Gauss yöntemiyle çözmenin varyantı analiz edildi, şimdi sistemin belirsiz olup olmadığını, yani bunun için sonsuz sayıda çözüm bulunabileceğini düşünmek gerekiyor.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Bilinmeyenlerin sayısı n = 5 olduğundan ve sistemin matrisinin sırası zaten bu sayıdan tam olarak daha az olduğundan, sistemin şekli zaten endişe vericidir, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani, kare determinantın en büyük mertebesi 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve genel formunun aranması gerektiği anlamına gelir. Lineer denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmayı mümkün kılar.

İlk olarak, her zamanki gibi, artırılmış matris derlenir.

İkinci satır: k katsayısı = (-a 21 / a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk eleman dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarının her biri ile çarparak ve istenen satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı öğelerden oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, bu nedenle bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalanı "-1" katsayısı ile çarpılır ve satır numarası 3 olur. Ve yine, iki özdeş satırdan birini bırakın.

Böyle bir matris ortaya çıktı. Sistem henüz yazılmadı, burada temel değişkenleri belirlemek gerekiyor - 11 \u003d 1 ve 22 \u003d 1 katsayılarında ve serbest - geri kalanı.

İkinci denklemin yalnızca bir temel değişkeni vardır - x 2 . Dolayısıyla, buradan, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla yazılarak ifade edilebilir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemin yerine koyarız.

Tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklem ortaya çıktı. Aynısını x 2 ile de yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişken olarak ifade edilir, şimdi cevabı genel bir biçimde yazabilirsiniz.

Ayrıca sistemin özel çözümlerinden birini de belirtebilirsiniz. Bu gibi durumlarda, kural olarak, serbest değişkenler için değerler olarak sıfırlar seçilir. O zaman cevap şöyle olacaktır:

16, 23, 0, 0, 0.

Uyumsuz bir sistem örneği

Tutarsız denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümü en hızlı olanıdır. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez sona erer. Yani oldukça uzun ve kasvetli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkar. Aşağıdaki sistem kabul edilir:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi, matris derlenir:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

İlk dönüşümden sonra, üçüncü satır formun bir denklemini içerir.

çözümü olmayan. Bu nedenle sistem tutarsızdır ve cevap boş kümedir.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'yi kağıt üzerinde bir kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede ele alınan yöntem en çekici görünüyor. Temel dönüşümlerde, bir determinantı veya karmaşık bir ters matrisi manuel olarak aramanız gerektiğinden, kafanızın karışması çok daha zordur. Bununla birlikte, örneğin elektronik tablolar gibi bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanırsanız, bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini hesaplamak için algoritmalar içerdiği ortaya çıkar - belirleyici, küçükler, ters vb. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmak daha uygundur, çünkü uygulamaları determinantların ve ters matrislerin hesaplanmasıyla başlar ve biter.

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan, programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir rehber olarak konumlandırdığından, yöntemi içine sokmanın en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine, bir tabloya matris şeklinde girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak kabul edilecektir. Ve onlarla işlemler için birçok güzel komut vardır: toplama (sadece aynı boyuttaki matrisleri ekleyebilirsiniz!), Sayı ile çarpma, matris çarpması (belirli kısıtlamalarla), ters ve transpoze matrisleri bulma ve en önemlisi , determinantın hesaplanması. Bu zaman alıcı görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin derecesini belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlemek çok daha hızlı olur.