İlk seviye
Aritmetik ilerleme. Örneklerle ayrıntılı teori (2019)
sayısal dizi
O halde oturalım ve bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar olabilir (bizim durumumuzda, onlar). Ne kadar sayı yazarsak yazalım, hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz ve böylece sonuncuya kadar, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:
sayısal dizi
Örneğin dizimiz için:
Atanan numara yalnızca bir sıra numarasına özeldir. Başka bir deyişle, dizide üç saniyelik sayı yoktur. İkinci sayı (-inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Numaralı sayı, dizinin -th üyesi olarak adlandırılır.
Genellikle tüm diziye bir harf (örneğin) deriz ve bu dizinin her üyesine - bu üyenin sayısına eşit bir indekse sahip aynı harf: .
Bizim durumumuzda: 
Diyelim ki bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayısal dizimiz var.
Örneğin: 
vb.
Böyle bir sayısal diziye aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, Romalı yazar Boethius tarafından 6. yüzyılın başlarında tanıtıldı ve daha geniş bir anlamda sonsuz bir sayısal dizi olarak anlaşıldı. "Aritmetik" adı, eski Yunanlıların meşgul olduğu sürekli oranlar teorisinden aktarıldı.
Bu, her bir üyesi bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile eklenen sayısal bir dizidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.
Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu ve hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:
a)
b)
c)
d)
Anladım? Cevaplarımızı karşılaştırın:
Dır-dir aritmetik ilerleme - b, c.
Değil aritmetik ilerleme - a, d.
Verilen ilerlemeye () geri dönelim ve onun inci üyesinin değerini bulmaya çalışalım. var iki bulmanın yolu.
1. Yöntem
İlerlemenin üçüncü terimine ulaşana kadar ilerleme numarasının bir önceki değerine ekleyebiliriz. Özetleyecek fazla bir şeyimiz olmaması iyi - sadece üç değer:
Yani, açıklanan aritmetik ilerlemenin -th üyesi eşittir.
2 yol
Ya ilerlemenin th teriminin değerini bulmamız gerekirse? Toplama işlemi bir saatten fazla zamanımızı alırdı ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik bir ilerlemenin farkını önceki değere eklemeniz gerekmeyen bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme yakından bakın ... Elbette, zaten belirli bir desen fark etmişsinizdir, yani:
Örneğin, bu aritmetik ilerlemenin -th üyesinin değerini neyin oluşturduğunu görelim: 
Diğer bir deyişle:
Bu aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bağımsız olarak bu şekilde bulmaya çalışın.
Hesaplanmış mı? Girişlerinizi cevapla karşılaştırın:
Bir aritmetik ilerlemenin üyelerini önceki değere art arda eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tam olarak aynı sayıyı elde ettiğinize dikkat edin.
Bu formülü "personalize etmeye" çalışalım - onu genel bir forma getiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:
|
Aritmetik ilerleme denklemi. |
Aritmetik ilerlemeler ya artıyor ya da azalıyor.
Artan- terimlerin sonraki her bir değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:
Azalan- terimlerin sonraki her bir değerinin bir öncekinden daha az olduğu ilerlemeler.
Örneğin:
Elde edilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinde terimlerin hesaplanmasında kullanılır.
Pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme verilir:
O zamandan beri:
Böylece formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına ikna olduk.
Bu aritmetik ilerlemenin -th ve -th üyelerini kendi başınıza bulmaya çalışın.
Sonuçları karşılaştıralım:
Aritmetik ilerleme özelliği
Görevi karmaşıklaştıralım - aritmetik bir ilerlemenin özelliğini türetiyoruz.
Bize aşağıdaki koşulun verildiğini varsayalım:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay diyorsunuz ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:
A, diyelim, o zaman:
Kesinlikle doğru. İlk önce bulduğumuz, ardından ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımızı elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, bunda karmaşık bir şey yoktur, ancak ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi düşünün, herhangi bir formül kullanarak bu sorunu tek adımda çözmek mümkün müdür? Tabii ki, evet ve şimdi ortaya çıkarmaya çalışacağız.
Aritmetik ilerlemenin istenen terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi belirtiriz - bu, başlangıçta elde ettiğimiz formülün aynısıdır:
, sonra:
- ilerlemenin önceki üyesi:
- ilerlemenin bir sonraki terimi:
İlerlemenin önceki ve sonraki üyelerini toplayalım:
Dizinin önceki ve sonraki üyelerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme üyesinin değerinin iki katı olduğu ortaya çıktı. Başka bir deyişle, bilinen önceki ve ardışık değerlere sahip bir ilerleme üyesinin değerini bulmak için bunları toplamak ve bölmek gerekir.
Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi düzeltelim. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, çünkü hiç de zor değil.
Aferin! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsun! Efsaneye göre, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" olan tek bir formül bulmak için kalır - Karl Gauss, kendisi için kolayca çıkarılabilir ...
Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan öğretmen, derste şu görevi sormuştur: " Bir dakika sonra öğrencilerinden biri (Karl Gauss'du) göreve doğru cevabı verirken öğretmenin sürprizi neydi, cesaretin sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonuç aldı ...
Genç Carl Gauss, kolayca fark edebileceğiniz bir model fark etti.
Diyelim ki -ti üyelerinden oluşan bir aritmetik dizimiz var: Aritmetik dizinin verilen üyelerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Tabii ki, tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak Gauss'un aradığı gibi, görevdeki terimlerinin toplamını bulmamız gerekirse?
Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler yapmaya çalışın. 
Sınanmış? Ne fark ettin? Doğru şekilde! Toplamları eşittir
Şimdi cevap verin, bize verilen ilerlemede bu tür kaç çift olacak? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı, yani.
Bir aritmetik ilerlemenin iki üyesinin toplamının ve benzer eşit çiftlerin toplamının eşit olduğu gerçeğine dayanarak, toplam toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz:
.
Böylece, herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için formül şöyle olacaktır:
Bazı problemlerde th terimini bilmiyoruz ama progresyon farkını biliyoruz. Toplam formülünde, inci üyenin formülünü değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?
Aferin! Şimdi Carl Gauss'a verilen probleme dönelim: -th'den başlayan sayıların toplamının ve -th'den başlayan sayıların toplamının ne olduğunu kendiniz hesaplayın.
Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu ortaya çıkardı. Böyle mi karar verdin?
Aslında, bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı için formül, eski Yunan bilim adamı Diophantus tarafından 3. yüzyılda kanıtlandı ve bu süre boyunca, esprili insanlar aritmetik bir ilerlemenin özelliklerini güçlü ve ana ile kullandılar.
Örneğin, Eski Mısır'ı ve o zamanın en büyük inşaat alanını hayal edin - bir piramidin inşası ... Şekil bunun bir tarafını gösteriyor. 
Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her satırındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun. 
Neden aritmetik bir ilerleme değil? Tabana blok tuğlalar yerleştirilmişse, bir duvar inşa etmek için kaç blok gerektiğini sayın. Parmağınızı monitörde gezdirerek saymayacağınızı umuyorum, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?
Bu durumda, ilerleme şöyle görünür:
Aritmetik ilerleme farkı.
Bir aritmetik ilerlemenin üye sayısı.
Verilerimizi son formüllerde yerine koyalım (blok sayısını 2 şekilde sayıyoruz).
Yöntem 1.
Yöntem 2.
Ve şimdi monitörde de hesaplayabilirsiniz: elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anlaştı mı? Tebrikler, bir aritmetik ilerlemenin inci terimlerinin toplamında ustalaştınız.
Tabii ki, tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama? Bu koşulla bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlası gerektiğini hesaplamaya çalışın.
Becerebildin mi?
Doğru cevap bloklardır:
Antrenman yapmak
Görevler:
- Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. İlk antrenmanda ağız kavgası yaptıysa, Masha haftalar içinde kaç kez çömelir.
- İçerdiği tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
- Günlükleri saklarken, oduncular bunları, her üst katman bir öncekinden bir daha az kütük içerecek şekilde istifler. Duvarın temeli kütüklerse, bir duvarda kaç kütük vardır.
Yanıtlar:
- Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
(hafta = gün).Cevap:İki hafta içinde Masha günde bir kez çömelir.
- İlk tek sayı, son sayı.
Aritmetik ilerleme farkı.
Ancak - yarıdaki tek sayıların sayısı, bir aritmetik ilerlemenin -inci üyesini bulmak için formülü kullanarak bu gerçeği kontrol edin:Sayılar tek sayılar içerir.
Mevcut verileri formülle değiştiriyoruz:Cevap:İçindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.
- Piramitlerle ilgili problemi hatırlayın. Bizim durumumuz için a, her üst katman bir log küçültüldüğünden, yalnızca bir grup katman vardır, yani.
Formüldeki verileri değiştirin:Cevap: Duvarda kütükler var.
Özetliyor
- - bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu sayısal bir dizi. Artıyor ve azalıyor.
- formül bulma aritmetik bir dizinin inci üyesi, dizideki sayıların sayısı olan - formülüyle yazılır.
- Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin özelliği- - nerede - ilerlemedeki sayıların sayısı.
- Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:
, değerlerin sayısı nerede.
ARİTMETİK İLERLEME. ORTALAMA SEVİYE
sayısal dizi
Hadi oturalım ve birkaç rakam yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebilirsiniz ve bu böyle devam eder, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.
sayısal dizi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir dizi sayıdır.
Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayı ile ilişkilendirilebilir ve yalnızca bir tane olabilir. Ve bu numarayı bu setten başka bir numaraya atamayacağız.
Numaralı sayı, dizinin -th üyesi olarak adlandırılır.
Genellikle tüm diziye bir harf (örneğin) deriz ve bu dizinin her üyesine - bu üyenin sayısına eşit bir indekse sahip aynı harf: .
Dizinin -th üyesinin bir formülle verilebiliyor olması çok uygundur. Örneğin, formül
sırayı ayarlar:
Ve formül aşağıdaki sıradır:
Örneğin, bir aritmetik ilerleme bir dizidir (buradaki ilk terim eşittir ve farktır). Veya (, fark).
n'inci terim formülü
-. terimi bulmak için önceki veya birkaç öncekini bilmeniz gereken tekrarlayan bir formül diyoruz:
Örneğin, böyle bir formül kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için, önceki dokuzu hesaplamamız gerekir. Örneğin, izin verin. O zamanlar:
Pekala, şimdi formülün ne olduğu açık mı?
Her satırda, bir sayı ile çarparak ekliyoruz. Ne için? Çok basit: bu, mevcut üye eksi sayısıdır:
Artık çok daha rahat, değil mi? Kontrol ediyoruz:
Kendin için karar ver:
Aritmetik bir ilerlemede, n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi bulun.
Çözüm:
İlk üye eşittir. Ve fark nedir? Ve işte ne:
(sonuçta, ilerlemenin ardışık üyelerinin farkına eşit olduğu için fark denir).
Yani formül:
O halde yüzüncü terim:
ile arasındaki tüm doğal sayıların toplamı kaçtır?
Efsaneye göre 9 yaşındaki büyük matematikçi Carl Gauss bu miktarı birkaç dakikada hesaplamıştır. İlk ve son sayının toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayının toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve üçüncünün toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Böyle kaç çift var? Bu doğru, tüm sayıların tam olarak yarısı, yani. Yani,
Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:
Örnek:
Tüm iki basamaklı katların toplamını bulun.
Çözüm:
Bu tür ilk sayı budur. Her bir sonraki, bir öncekine bir sayı eklenerek elde edilir. Böylece ilgimizi çeken sayılar birinci terim ve fark ile aritmetik bir dizilim oluşturur.
Bu ilerleme için th terim formülü:
Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa, ilerlemede kaç terim var?
Çok kolay: .
İlerlemenin son dönemi eşit olacaktır. Sonra toplamı:
Cevap: .
Şimdi kendiniz karar verin:
- Sporcu her gün bir önceki günden 1m daha fazla koşar. İlk gün km m koşarsa haftalar içinde kaç kilometre koşar?
- Bir bisikletçi her gün bir öncekinden daha fazla mil sürüyor. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün sürmesi gerekiyor? Yolculuğun son gününde kaç kilometre yol gidecek?
- Mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı oranda düşmektedir. Bir buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin, eğer ruble için satışa çıkarsa, altı yıl sonra ruble için satılırsa.
Yanıtlar:
- Buradaki en önemli şey, aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda, (hafta = gün). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
.
Cevap: - İşte verildi:, bulmak gerekiyor.
Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
.
Değerleri değiştirin:Kök açıkça uymuyor, bu yüzden cevap.
-th üyenin formülünü kullanarak son gün boyunca kat edilen mesafeyi hesaplayalım:
(km).
Cevap: - Verilen: . Bulmak: .
Daha kolay olmuyor:
(ovmak).
Cevap:
ARİTMETİK İLERLEME. KISACA ANA HAKKINDA
Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu sayısal bir dizidir.
Aritmetik ilerleme artıyor () ve azalıyor ().
Örneğin:
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesini bulma formülü
ilerlemedeki sayıların sayısı olduğu bir formül olarak yazılır.
Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin özelliği
Komşu üyeleri biliniyorsa, dizinin bir üyesini bulmayı kolaylaştırır - dizideki sayıların sayısı nerede.
Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı
Toplamı bulmanın iki yolu vardır:
Değerlerin sayısı nerede.
Değerlerin sayısı nerede.
Neyse konu kapandı. Bu satırları okuyorsanız çok iyisiniz demektir.
Çünkü insanların sadece %5'i kendi başlarına bir konuda ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, %5'lik dilimdesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu süper! Zaten yaşıtlarının büyük çoğunluğundan daha iyisin.
Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...
Ne için?
Sınavı başarıyla geçmek, enstitüye bütçeden kabul edilmek ve EN ÖNEMLİ olarak ömür boyu.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...
İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanırlar. Bu istatistik.
Ama asıl mesele bu değil.
Ana şey, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? bilmiyorum...
Ama kendin düşün...
Sınavda diğerlerinden daha iyi olmak ve nihayetinde ... daha mutlu olmak için ne gerekiyor?
ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZÜN.
Sınavda size teori sorulmayacak.
İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.
Ve eğer onları çözmediyseniz (ÇOK!), bir yerde kesinlikle aptalca bir hata yapacaksınız ya da zamanında yapamayacaksınız.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.
İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değildir) ve kesinlikle tavsiye ederiz.
Görevlerimizin yardımıyla yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 299 ovmak.
- Eğitimin 99 makalesinin tümünde tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.
Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
ikinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık düzeyleri için çözümler ve cevaplar içeren 6000 görev." Herhangi bir konuda problem çözme konusunda elinizi çabuk tutmanız kesinlikle yeterlidir.
Aslında, bu sadece bir simülatörden çok daha fazlasıdır - bütün bir eğitim programı. Gerekirse ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.
Sitenin tüm kullanım ömrü boyunca tüm metinlere ve programlara erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.
“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Aritmetik ilerleme, her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.
Bu konu genellikle zor ve anlaşılmazdır. Harf indeksleri, ilerlemenin n'inci terimi, ilerlemenin farkı - tüm bunlar bir şekilde kafa karıştırıcı, evet ... Aritmetik ilerlemenin anlamını bulalım ve her şey hemen yoluna girecek.)
Aritmetik ilerleme kavramı.
Aritmetik ilerleme çok basit ve net bir kavramdır. Şüphe? Boşuna.) Kendiniz görün.
Bitmemiş bir dizi sayı yazacağım:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bu çizgiyi uzatabilir misin? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes ... uh ..., kısacası, herkes 6, 7, 8, 9 vb. sayıların daha ileri gideceğini anlayacaktır.
Görevi karmaşıklaştıralım. Bitmemiş bir dizi sayı veriyorum:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Deseni yakalayabilir, seriyi uzatabilir ve isim verebilirsiniz. yedinci satır numarası?
Bu sayının 20 olduğunu anladıysan seni tebrik ederim! sadece hissetmedin aritmetik bir ilerlemenin kilit noktaları, ama aynı zamanda onları işinde de başarıyla kullandı! Anlamadıysanız okumaya devam edin.
Şimdi duyulardan gelen kilit noktaları matematiğe çevirelim.)
İlk kilit nokta.
Aritmetik ilerleme, sayı dizileriyle ilgilenir. Bu ilk başta kafa karıştırıcı. Denklemleri çözmeye, grafikler oluşturmaya ve tüm bunlara alışkınız ... Ve sonra seriyi genişletin, serinin numarasını bulun ...
Önemli değil. Sadece ilerlemeler, yeni bir matematik dalı ile ilk tanışmadır. Bölüm "Seri" olarak adlandırılır ve bir dizi sayı ve ifadeyle çalışır. Alışmak.)
İkinci kilit nokta.
Aritmetik bir ilerlemede, herhangi bir sayı bir öncekinden farklıdır. aynı miktarda.
İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, öncekinden bir fazladır. İkinci - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinden üç kat daha büyüktür. Aslında, bize deseni yakalama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatı veren bu an.
Üçüncü kilit nokta.
Bu an çarpıcı değil, evet... Ama çok, çok önemli. İşte burada: her ilerleme numarası yerindedir. Birinci sayı var, yedinci var, kırk beşinci var, vb. Onları gelişigüzel karıştırırsanız, desen kaybolacaktır. Aritmetik ilerleme de kaybolacaktır. Bu sadece bir dizi sayı.
Bütün mesele bu.
Tabii ki, yeni konuda yeni terimler ve gösterimler ortaya çıkıyor. Bilmeleri gerekiyor. Aksi takdirde, görevi anlamayacaksınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermelisiniz:
a 2 = 5, d = -2,5 ise aritmetik ilerlemenin (a n) ilk altı terimini yazın.
İlham veriyor mu?) Harfler, bazı indeksler... Ve bu arada, görev bundan daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve gösterimlerin anlamlarını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuda ustalaşacağız ve göreve döneceğiz.
Şartlar ve tanımlamalar.
Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.
Bu değer denir . Bu kavramla daha ayrıntılı olarak ilgilenelim.
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme sayısının daha fazla bir önceki.
Önemli bir nokta. Lütfen söze dikkat edin "daha fazla". Matematiksel olarak bu, her ilerleme numarasının elde edildiği anlamına gelir. eklemeönceki sayıya aritmetik ilerleme farkı.
Hesaplamak için diyelim ikinci satırın numaraları, gereklidir ilk sayı Ekle aritmetik bir ilerlemenin bu farkı. Hesaplama için beşinci- fark gerekli Ekle ile dördüncü peki, vb.
Aritmetik ilerleme farkı belki pozitif o zaman serinin her sayısı gerçek olacak öncekinden daha fazla. Bu ilerleme denir artan.Örneğin:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Burada her sayı ekleme pozitif sayı, bir öncekine +5.
Fark olabilir olumsuz o zaman serideki her sayı olacak öncekinden daha az. Bu ilerlemenin adı (inanamayacaksınız!) azalan.
Örneğin:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Burada da her sayı elde edilir eklemeöncekine, ancak zaten negatif sayıya, -5.
Bu arada, bir ilerleme ile çalışırken, doğasını - artan mı yoksa azalan mı - hemen belirlemek çok yararlıdır. Karar verirken yönünüzü bulmanız, hatalarınızı tespit etmeniz ve çok geç olmadan düzeltmeniz çok yardımcı olur.
Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir d.
Nasıl bulunur d? Çok basit. Serinin herhangi bir sayısından çıkarmak gerekir öncesi sayı. Çıkart. Bu arada, çıkarmanın sonucuna "fark" denir.)
Örneğin tanımlayalım, d artan bir aritmetik ilerleme için:
2, 5, 8, 11, 14, ...
İstediğimiz satırdan herhangi bir sayı alıyoruz, örneğin 11. Ondan çıkar. önceki numaraşunlar. sekiz:
Bu doğru cevap. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.
sadece alabilirsin herhangi bir sayıda ilerleme,çünkü belirli bir ilerleme için d-her zaman aynı. En azından satırın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Sadece ilk numarayı alamazsınız. İlk sayı olduğu için öncesi yok.)
Bu arada bunu bilerek d=3, bu ilerlemenin yedinci sayısını bulmak çok basittir. Beşinci sayıya 3 ekleriz - altıncıyı alırız, 17 olur. Altıncı sayıya üç ekleriz, yedinci sayıyı alırız - yirmi.
tanımlayalım d azalan bir aritmetik ilerleme için:
8; 3; -2; -7; -12; .....
İşaretlerden bağımsız olarak, belirlemek için size hatırlatırım. d herhangi bir sayıdan gerekli öncekini kaldır. Herhangi bir sayıda ilerleme seçiyoruz, örneğin -7. Önceki numarası -2'dir. O zamanlar:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmetik bir ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tamsayı, kesirli, irrasyonel, herhangi.
Diğer terimler ve tanımlamalar.
dizideki her numara denir aritmetik bir ilerlemenin üyesi.
İlerlemenin her bir üyesi numarası var. Rakamlar kesinlikle sıralıdır, herhangi bir hile yoktur. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, ilerlemede 2, 5, 8, 11, 14, ... iki birinci üye, beş ikinci, on bir dördüncü, peki, anladınız ...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendileri kesinlikle herhangi bir, bütün, kesirli, negatif olabilir, ama numaralama- kesinlikle sırayla!
Genel formda bir ilerleme nasıl yazılır? Sorun değil! Dizideki her sayı bir harf olarak yazılmıştır. Aritmetik bir ilerlemeyi belirtmek için kural olarak harf kullanılır a. Üye numarası sağ altta indeks ile belirtilmiştir. Üyeler virgülle (veya noktalı virgülle) ayrılmış olarak şöyle yazılır:
a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....
1 ilk sayı 3- üçüncü, vb. Zor bir şey yok. Bu seriyi kısaca şöyle yazabilirsiniz: (bir).
ilerlemeler var sonlu ve sonsuz.
Nihai ilerlemenin sınırlı sayıda üyesi vardır. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama sonlu bir sayı.
Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)
Bunun gibi bir dizi, tüm üyeler ve sonunda bir nokta ile son bir ilerleme yazabilirsiniz:
a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Veya bunun gibi, çok sayıda üye varsa:
a 1 , 2 , ... 14 , 15 .
Kısa bir girişte, ek olarak üye sayısını belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:
(bir n), n = 20
Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta tarafından sonsuz bir ilerleme tanınabilir.
Artık görevleri zaten çözebilirsiniz. Görevler basittir, yalnızca aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak içindir.
Aritmetik ilerleme için görev örnekleri.
Yukarıdaki göreve daha yakından bakalım:
1. Eğer a 2 = 5 ise, d = -2.5 ise, aritmetik ilerlemenin (a n) ilk altı üyesini yazın.
Görevi anlaşılır bir dile çeviriyoruz. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verildi. Bu ilerlemenin ikinci sayısı bilinmektedir: 2 = 5. Bilinen ilerleme farkı: d = -2.5. Bu ilerlemenin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı üyelerini bulmamız gerekiyor.
Netlik için, sorunun durumuna göre bir dizi yazacağım. İkinci üyenin beş olduğu ilk altı üye:
a 1 , 5 , bir 3 , bir 4 , bir 5 , bir 6 ,....
3 = 2 + d
ifadede yerine koyuyoruz 2 = 5 ve d=-2.5. Eksi unutmayın!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Üçüncü terim ikinciden daha küçüktür. Her şey mantıklı. Sayı öncekinden büyükse olumsuz değer, bu nedenle sayının kendisi öncekinden daha az olacaktır. İlerleme azalıyor. Tamam, dikkate alalım.) Serimizin dördüncü üyesini ele alıyoruz:
4 = 3 + d
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + d
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + d
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplanmıştır. Bu bir dizi ile sonuçlandı:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Geriye ilk terimi bulmak kalıyor 1 iyi bilinen ikinci göre. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Dolayısıyla, aritmetik ilerlemenin farkı. d eklenmemeli 2, a götürmek:
1 = 2 - d
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Hepsi bu kadar. Görev yanıtı:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Geçerken, bu görevi çözdüğümü not ediyorum tekrarlayan yol. Bu korkunç kelime, yalnızca, ilerlemenin bir üyesini aramak anlamına gelir. önceki (bitişik) numaraya göre.İlerleme ile çalışmanın diğer yolları daha sonra tartışılacaktır.
Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.
Unutma:
En az bir üye ve bir aritmetik dizinin farkını biliyorsak, bu dizinin herhangi bir üyesini bulabiliriz.
Unutma? Bu basit sonuç, okul kursunun bu konudaki problemlerinin çoğunu çözmemizi sağlar. Tüm görevler üç ana parametre etrafında döner: aritmetik bir dizinin üyesi, bir dizinin farkı, bir dizinin üye sayısı. Her şey.
Tabii ki, önceki tüm cebir iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye eklenir. Fakat ilerlemeye göre- her şey üç parametre etrafında döner.
Örneğin, bu konuyla ilgili bazı popüler görevleri düşünün.
2. n=5, d=0.4 ve a 1=3.6 ise son aritmetik ilerlemeyi bir seri olarak yazın.
Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin nasıl hesaplandığını, sayıldığını ve not edildiğini hatırlamanız gerekir. Görev durumundaki kelimeleri atlamamanız önerilir: "final" ve " n=5". Yüzünüz tamamen mavileşene kadar saymamak için.) Bu dizide sadece 5 (beş) üye bulunmaktadır:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Cevabı yazmak için kalır:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Başka bir görev:
3. 7 sayısının aritmetik bir dizinin (a n) bir üyesi olup olmayacağını belirleyin. 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hımm... Kim bilir? Bir şey nasıl tanımlanır?
Nasıl-nasıl... Evet, ilerlemeyi bir dizi şeklinde yazın ve yedili olup olmayacağını görün! İnanıyoruz:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Şimdi açıkça görülüyor ki biz sadece yedi kişiyiz doğru kaymış 6.5 ile 7.7 arasında! Yedi, sayı dizimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen dizinin bir üyesi olmayacak.
Cevap: hayır.
Ve işte GIA'nın gerçek bir versiyonuna dayanan bir görev:
4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık üyesi yazılır:
...; on beş; X; 9; 6; ...
İşte sonu ve başı olmayan bir dizi. Üye numarası yok, fark yok d. Önemli değil. Problemi çözmek için aritmetik bir ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Bakalım ve neler yapabileceğimizi görelim bilmek bu hattan mı? Üç ana parametrenin parametreleri nelerdir?
Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.
Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "ardışık" durumda. Bu, sayıların boşluk olmadan kesinlikle sırayla olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane var mı? komşu bilinen numaralar? Evet var! Bunlar 9 ve 6. Böylece aritmetik bir ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! altıdan çıkarıyoruz öncesi sayı, yani dokuz:
Kalan boşluklar var. x için önceki sayı kaç olur? On beş. Yani x basit toplama ile kolayca bulunabilir. 15'e aritmetik bir ilerlemenin farkını ekleyin:
Bu kadar. Cevap: x=12
Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu bulmacalar formüller için değildir. Sadece bir aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi sayı-harf yazıyoruz, bakıp düşünüyoruz.
5. 5 = -3 ise aritmetik ilerlemenin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.
6. 5.5 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olduğu bilinmektedir, burada a 1 = 1.6; d = 1.3. Bu üyenin n sayısını belirleyin.
7. Bir aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 \u003d 15.1. 3'ü bulun.
8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık üyesi yazılır:
...; 15.6; X; 3.4; ...
x harfi ile gösterilen ilerleme terimini bulun.
9. Tren istasyondan hareket etmeye başladı ve hızını kademeli olarak dakikada 30 metre artırdı. Beş dakika sonra trenin hızı ne olacak? Cevabınızı km/h cinsinden verin.
10. Bir aritmetik ilerlemede a 2 = 5 olduğu bilinmektedir; 6 = -5. 1 bul.
Cevaplar (düzensiz): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; dört.
Her şey yolunda mı gitti? Müthiş! Sonraki derslerde aritmetik ilerlemeyi daha üst düzeyde öğrenebilirsiniz.
Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. Özel Bölüm 555'te, tüm bu sorunlar parçalara ayrılmıştır.) Ve elbette, bu tür görevlerin çözümünü avucunuzun içinde olduğu gibi açık ve net bir şekilde hemen vurgulayan basit bir pratik teknik açıklanmaktadır!
Bu arada, trenle ilgili bulmacada, insanların sıklıkla tökezlediği iki sorun var. Biri - tamamen ilerleme ile ve ikincisi - matematik ve fizikteki herhangi bir görev için ortaktır. Bu, boyutların birinden diğerine çevirisidir. Bu sorunların nasıl çözülmesi gerektiğini gösterir.
Bu derste, aritmetik bir ilerlemenin temel anlamını ve ana parametrelerini inceledik. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Ekle d sayılara bir dizi yaz, her şeye karar verilecek.
Parmak çözümü, bu dersteki örneklerde olduğu gibi, dizinin çok kısa parçaları için iyi sonuç verir. Seri daha uzunsa, hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, sorudaki sorun 9'daysa, değiştirin "Beş dakika"üzerinde "otuz beş dakika" sorun daha da kötüleşecek.)
Ayrıca, özünde basit, ancak hesaplamalar açısından tamamen saçma olan görevler de vardır, örneğin:
Aritmetik bir ilerleme verildiğinde (a n). 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.
Ve ne, birçok kez 1/6 ekleyeceğiz?! Kendini öldürmek mümkün mü!?
Yapabilirsin.) Bu tür görevleri bir dakika içinde çözebileceğiniz basit bir formül bilmiyorsanız. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve o sorun orada çözülür. Bir dakika içinde.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Bir ortaokulda cebir çalışırken (9. sınıf), önemli konulardan biri, ilerlemeleri içeren sayısal dizilerin çalışmasıdır - geometrik ve aritmetik. Bu yazıda, aritmetik bir ilerlemeyi ve çözümlü örnekleri ele alacağız.
Aritmetik ilerleme nedir?
Bunu anlamak için, ele alınan ilerlemenin bir tanımını vermek ve ayrıca problemlerin çözümünde daha fazla kullanılacak temel formülleri vermek gerekir.
Bazı cebirsel ilerlemelerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin ise 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulmak ve bu diziyi 7. terime geri döndürmek gerekir.
Bilinmeyen terimi belirlemek için formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Bilinen verileri koşuldan yerine koyarız, yani a 1 ve 7 sayıları elimizde: 18 \u003d 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) / 6 = 2. Böylece problemin ilk kısmı cevaplanmış oldu.
Diziyi 7. üyeye geri yüklemek için cebirsel bir ilerlemenin tanımını kullanmalısınız, yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, vb. Sonuç olarak, tüm diziyi geri yükleriz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ve 7 = 18.
Örnek #3: ilerleme kaydetme
Sorunun durumunu daha da karmaşıklaştıralım. Şimdi aritmetik bir ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermeniz gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: iki sayı verilmiştir, örneğin 4 ve 5. Cebirsel dizileme yapmak gerekir ki, bunların arasına üç terim daha sığsın.
Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların gelecekteki ilerlemede hangi yeri işgal edeceğini anlamak gerekir. Aralarında üç terim daha olacağından, 1 \u003d -4 ve 5 \u003d 5. Bunu belirledikten sonra, öncekine benzer bir göreve geçiyoruz. Yine, n'inci terim için formülü kullanıyoruz, şunu elde ediyoruz: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimden: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Burada fark bir tamsayı değeri değil, rasyonel bir sayıdır, bu nedenle cebirsel ilerleme formülleri aynı kalır.
Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik üyelerini geri yükleyelim. 1 = - 4, 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, hangi sorunun durumu ile çakıştı.
Örnek 4: İlerlemenin ilk üyesi
Çözümlü aritmetik ilerleme örnekleri vermeye devam ediyoruz. Önceki tüm problemlerde, cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türde bir problem düşünelim: 15 = 50 ve 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıdan başladığını bulmak gerekiyor.
Şimdiye kadar kullanılan formüller, 1 ve d bilgisini varsayar. Sorun durumunda bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmiyor. Yine de hakkında bilgi sahibi olduğumuz her terim için ifadeleri yazalım: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen nicelik (a 1 ve d) olan iki denklemimiz var. Bu, problemin bir lineer denklem sistemini çözmeye indirgendiği anlamına gelir.
Her denklemde bir 1 ifade ederseniz ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırırsanız, belirtilen sistemin çözülmesi en kolay yoldur. Birinci denklem: a 1 = 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 \u003d 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, bu nedenle fark d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (sadece 3 ondalık basamak verilir).
d'yi bilerek, 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin, önce: 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
Sonuç hakkında şüpheleriniz varsa, kontrol edebilirsiniz, örneğin, koşulda belirtilen ilerlemenin 43. üyesini belirleyin. Alırız: 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Küçük bir hata, hesaplamalarda binde bire yuvarlamanın kullanılmasından kaynaklanmaktadır.
Örnek 5: Toplam
Şimdi bir aritmetik ilerlemenin toplamı için çözümler içeren bazı örneklere bakalım.
Aşağıdaki formun sayısal bir dizisi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?
Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde, bu sorun çözülebilir, yani, bir kişi Enter tuşuna basar basmaz bilgisayarın yapacağı tüm sayıları sırayla toplayabilir. Ancak, sunulan sayı dizisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1 olduğuna dikkat ederseniz sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam için formülü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Bu sorunun "Gauss" olarak adlandırılması ilginçtir, çünkü 18. yüzyılın başlarında, ünlü Alman, hala sadece 10 yaşında, birkaç saniye içinde zihninde çözebildi. Çocuk cebirsel bir ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu, ancak dizinin kenarlarında bulunan sayı çiftlerini toplarsanız, her zaman aynı sonucu elde ettiğinizi fark etti, yani 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100 / 2) olacağından, doğru cevabı almak için 50 ile 101'i çarpmak yeterlidir.
Örnek 6: n'den m'ye kadar olan terimlerin toplamı
Bir aritmetik ilerleme toplamının bir başka tipik örneği şudur: bir dizi sayı verildiğinde: 3, 7, 11, 15, ..., 8'den 14'e kadar olan terimlerin toplamının ne olacağını bulmanız gerekir.
Problem iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından bunları sırayla özetlemeyi içerir. Birkaç terim olduğu için bu yöntem yeterince zahmetli değildir. Bununla birlikte, bu sorunun daha evrensel olan ikinci yöntemle çözülmesi önerilmektedir.
Buradaki fikir, n > m'nin tamsayı olduğu m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazıyoruz:
- S m \u003d m * (bir m + bir 1) / 2.
- S n \u003d n * (bir n + a 1) / 2.
n > m olduğundan, 2 toplamının birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alıp buna a m terimini eklersek (fark alınması durumunda S n toplamından çıkarılır), o zaman soruna gerekli cevabı alırız demektir. Şunlara sahibiz: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + bir n * n / 2 + bir m * (1- m / 2). Bu ifadeye a n ve a m formüllerini koymak gerekir. Sonra şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ortaya çıkan formül biraz zahmetlidir, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları değiştirerek şunu elde ederiz: S mn = 301.
Yukarıdaki çözümlerden görülebileceği gibi, tüm problemler, n'inci terim için ifadenin bilgisine ve birinci terimler kümesinin toplamı için formüle dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, durumu dikkatlice okumanız, ne bulmak istediğinizi açıkça anlamanız ve ancak bundan sonra çözüme devam etmeniz önerilir.
Başka bir ipucu basitlik için çabalamaktır, yani soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam olarak bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözümle aritmetik bir ilerleme örneğinde, S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabilir, ve genel görevi ayrı alt görevlere ayırın (bu durumda önce a n ve a m terimlerini bulun).
Sonuç hakkında şüphe varsa, verilen bazı örneklerde olduğu gibi kontrol edilmesi önerilir. Aritmetik bir ilerleme nasıl bulunur, öğrenildi. Bir kere anladığınızda, o kadar da zor değil.
IV Yakovlev | Matematiğin Materyalleri | MathUs.ru
Aritmetik ilerleme
Aritmetik bir ilerleme, özel bir dizi türüdür. Bu nedenle, bir aritmetik (ve ardından geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce, sayı dizisinin önemli kavramını kısaca tartışmamız gerekir.
müteakip
Ekranında bazı sayıların art arda görüntülendiği bir cihaz hayal edin. 2 diyelim; 7; 13; bir; 6; 0; 3; : : : Böyle bir sayı dizisi sadece bir dizi örneğidir.
Tanım. Sayısal dizi, her sayıya benzersiz bir sayı atanabildiği (yani, tek bir doğal sayı ile karşılık gelen) bir sayı dizisidir1. n numaralı sayı, dizinin n. üyesi olarak adlandırılır.
Dolayısıyla, yukarıdaki örnekte, ilk sayı, dizinin ilk üyesi olan ve a1 ile gösterilebilen 2 sayısına sahiptir; beş sayısı, a5 olarak gösterilebilen dizinin beşinci üyesi olan 6 sayısına sahiptir. Genel olarak, bir dizinin n'inci üyesi bir (veya bn , cn , vb.) ile gösterilir.
Çok uygun bir durum, dizinin n'inci üyesinin bir formülle belirtilebilmesidir. Örneğin, an = 2n 3 formülü şu diziyi belirtir: 1; bir; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü şu diziyi tanımlar: 1; bir; bir; bir; : : :
Her sayı dizisi bir dizi değildir. Dolayısıyla, bir segment bir dizi değildir; yeniden numaralandırılamayacak ¾ çok fazla¿ sayı içeriyor. Tüm reel sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Aritmetik ilerleme: temel tanımlar
Şimdi aritmetik bir ilerleme tanımlamaya hazırız.
Tanım. Bir aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) bir önceki terimin toplamına ve bir sabit sayıya (aritmetik ilerlemenin farkı denir) eşit olduğu bir dizidir.
Örneğin, sıra 2; 5; sekiz; on bir; : : : birinci terim 2 ve fark 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 7; 2; 3; sekiz; : : : ilk terim 7 ve fark 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 3; 3; 3; : : : sıfır farkla aritmetik bir ilerlemedir.
Eşdeğer tanım: an + 1 an farkı sabit bir değerse (n'ye bağlı değil) bir an dizisine aritmetik ilerleme denir.
Bir aritmetik ilerlemenin farkı pozitifse artan, farkı negatifse azalan olduğu söylenir.
1 Ve işte daha özlü bir tanım: dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, reel sayıların dizisi f:N fonksiyonudur! R.
Varsayılan olarak, diziler sonsuz olarak kabul edilir, yani sonsuz sayıda sayı içerir. Ancak hiç kimse sonlu dizileri de dikkate almakla uğraşmaz; aslında, herhangi bir sonlu sayı kümesine sonlu bir dizi denilebilir. Örneğin, son dizi 1; 2; 3; dört; 5, beş sayıdan oluşur.
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü
Aritmetik bir ilerlemenin tamamen iki sayı tarafından belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle, soru ortaya çıkıyor: ilk terimi ve farkı bilerek, aritmetik bir ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl buluyorsunuz?
Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için istenen formülü elde etmek zor değildir. izin ver
fark ile aritmetik ilerleme d. Sahibiz: | |
an+1 = bir + d (n = 1; 2; : ::): | |
Özellikle şunu yazıyoruz: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
ve şimdi a'nın formülünün şu şekilde olduğu ortaya çıkıyor: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Görev 1. Aritmetik ilerlemede 2; 5; sekiz; on bir; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.
Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti
aritmetik bir ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede herhangi biri için
Başka bir deyişle, aritmetik dizinin her bir üyesi (ikinciden başlayarak), komşu üyelerin aritmetik ortalamasıdır.
Kanıt. Sahibiz: | ||||
bir n 1+ bir n+1 | (bir d) + (bir + d) | |||
bu ne gerekliydi.
Daha genel olarak, aritmetik ilerleme, eşitliği sağlar.
bir n = bir n k+ bir n+k
herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Formül (2)'nin bir dizinin aritmetik bir ilerleme olması için yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olduğu ortaya çıktı.
Aritmetik bir ilerlemenin işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi aritmetik bir ilerlemedir.
Kanıt. Formül (2)'yi aşağıdaki gibi yeniden yazalım:
bir na n 1= bir n+1a n:
Bu, an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını gösterir ve bu, an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.
Bir aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti tek bir ifade olarak formüle edilebilir; kolaylık olması açısından bunu üç sayı için yapacağız (sorunlarda sıklıkla görülen durum budur).
Aritmetik bir ilerlemenin karakterizasyonu. Üç a, b, c sayısı, ancak ve ancak 2b = a + c ise aritmetik bir ilerleme oluşturur.
Problem 2. (Moskova Devlet Üniversitesi, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sıradaki 8x, 3x2 ve 4 sayıları azalan bir aritmetik ilerleme oluşturur. x'i bulun ve bu ilerlemenin farkını yazın.
Çözüm. Aritmetik bir ilerlemenin özelliğiyle, elimizde:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Eğer x = 1 ise, o zaman 6'lık bir farkla azalan 8, 2, 4'lük bir ilerleme elde edilir. Eğer x = 5 ise, o zaman 40, 22, 4'lük artan bir ilerleme elde edilir; bu durumda çalışmıyor.
Cevap: x = 1, fark 6'dır.
Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı
Efsaneye göre, bir keresinde öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyledi ve oturup gazeteyi sessizce okumak için oturdu. Ancak birkaç dakika içinde bir çocuk sorunu çözdüğünü söyledi. 9 yaşındaki Carl Friedrich Gauss, daha sonra tarihin en büyük matematikçilerinden biriydi.
Küçük Gauss'un fikri buydu. İzin vermek
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Bu toplamı ters sırayla yazalım:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ve şu iki formülü ekleyin:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Parantez içindeki her bir terim 101'e eşittir ve bu tür toplam 100 terim vardır.
2S = 101 100 = 10100;
Bu fikri toplam formülünü türetmek için kullanırız.
S = a1 + a2 + : : : + bir + bir n n: (3)
Formül (3)'ün yararlı bir modifikasyonu, n'inci terim an = a1 + (n 1)d için formülün buna ikame edilmesiyle elde edilir:
2a1 + (n 1)d | |||||
Görev 3. 13'e bölünebilen tüm pozitif üç basamaklı sayıların toplamını bulun.
Çözüm. 13'ün katı olan üç basamaklı sayılar, birinci terim 104 ve fark 13 ile aritmetik bir ilerleme oluşturur; Bu ilerlemenin n'inci terimi:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
İlerlememizin kaç üye içerdiğini bulalım. Bunu yapmak için eşitsizliği çözüyoruz:
bir 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n6 69:
Yani ilerlememizde 69 üye var. Formül (4)'e göre gerekli miktarı buluyoruz:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Veya aritmetik - bu, özellikleri bir okul cebir dersinde incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makale, aritmetik bir ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusunu ayrıntılı olarak tartışıyor.
Bu ilerleme nedir?
Sorunun değerlendirilmesine geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neyin tartışılacağını anlamaya değer.
Her bir önceki sayıdan bir değer ekleyerek (çıkararak) elde edilen herhangi bir gerçek sayı dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Matematik diline çevrilen bu tanım şu şekli alır:
Burada i, a i serisinin elemanının sıra sayısıdır. Böylece, yalnızca bir ilk sayıyı bilerek, tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.
Söz konusu sayı dizisi için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolayca gösterilebilir:
bir n \u003d 1 + d * (n - 1).
Yani, n'inci elemanın değerini sırayla bulmak için, ilk elemana d farkını 1 n-1 kez ekleyin.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül
Belirtilen miktar için formülü vermeden önce, basit bir özel durumu düşünmeye değer. 1'den 10'a kadar bir doğal sayılar dizisi verildiğinde, toplamlarını bulmanız gerekir. İlerlemede (10) terim sayısı az olduğu için sorunu baştan çözmek, yani tüm öğeleri sırayla toplamak mümkündür.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
İlginç bir şeyi düşünmeye değer: her terim bir sonrakinden aynı d \u003d 1 değeriyle farklı olduğundan, o zaman birincinin onuncu, ikincinin dokuzuncu vb. ikili toplamı aynı sonucu verecektir. . Yok canım:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Gördüğünüz gibi, bu toplamlardan sadece 5 tanesi var, yani dizideki eleman sayısından tam olarak iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın (11) sonucu ile çarparak ilk örnekte elde edilen sonuca ulaşacaksınız.
Bu argümanları genelleştirirsek, aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:
S n \u003d n * (a 1 + bir n) / 2.
Bu ifade, bir satırdaki tüm öğeleri toplamanın gerekli olmadığını, ilk a 1 ve son a n'nin değerini ve toplam n terim sayısını bilmek yeterlidir.
Gauss'un bu eşitliği ilk olarak öğretmeninin belirlediği ilk 100 tam sayıyı toplama problemine bir çözüm ararken düşündüğüne inanılıyor.
m'den n'ye kadar olan elementlerin toplamı: formül
Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik ilerlemenin (ilk öğelerin) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna yanıt verir, ancak genellikle görevlerde ilerlemenin ortasındaki bir dizi sayıyı toplamak gerekir. Nasıl yapılır?
Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu aşağıdaki örneği dikkate almaktır: m'den n'ye kadar olan terimlerin toplamını bulmak gereksin. Sorunu çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye belirli bir bölümü yeni bir sayı serisi olarak temsil edilmelidir. Bu gösterimde, m-inci terim a m ilk olacak ve a n, n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda, toplam için standart formül uygulandığında aşağıdaki ifade elde edilecektir:
S m n \u003d (n - m + 1) * (bir m + bir n) / 2.
Formül kullanma örneği
Aritmetik bir ilerlemenin toplamını nasıl bulacağınızı bilmek, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.
Aşağıda sayısal bir dizi var, 5. ile başlayan ve 12. ile biten üyelerinin toplamını bulmalısınız:
Verilen sayılar, d farkının 3'e eşit olduğunu göstermektedir. n'inci eleman için ifadeyi kullanarak, dizinin 5. ve 12. üyelerinin değerlerini bulabilirsiniz. Çıkıyor:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Dikkate alınan cebirsel ilerlemenin sonundaki sayıların değerlerini bilmek ve ayrıca dizideki hangi sayıları işgal ettiklerini bilmek, önceki paragrafta elde edilen toplam formülü kullanabilirsiniz. Almak:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Bu değerin farklı şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 öğenin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın ve ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın. .